\(m=0\)のとき
\begin{align*} \psi\left(nz\right) & =\frac{d}{dnz}\log\Gamma\left(nz\right)\\ & =\frac{dz}{dnz}\frac{d}{dz}\log\left[\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\right]\cmt{\text{ガウスの乗法公式}}\\ & =\frac{1}{n}\frac{d}{dz}\left(nz\log n+\sum_{k=0}^{n-1}\log\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\right)\\ & =\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\psi\left(z+\frac{k}{n}\right) \end{align*} より成り立つ。
\(m=j\)のとき成り立つと仮定すると\(m=j+1\)のとき、
\begin{align*} \psi^{\left(j+1\right)}\left(nz\right) & =\frac{d}{dnz}\psi^{\left(j\right)}\left(nz\right)\\ & =\frac{dz}{dnz}\frac{d}{dz}\left\{ \delta_{0,j}\log n+\frac{1}{n^{j+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(j\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{n^{j+2}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(j+1\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right) \end{align*} となる。
これより\(m=j+1\)のときも成り立つ。
故に数学的帰納法より与式は成り立つ。