相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義
相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義
(1)相加平均(算術平均)
\[ \mu_{A}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k} \]
(2)重み付き相加平均
\[ \mu_{A}=\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\right)^{-1}\sum_{k=1}^{n}w_{k}x_{k} \]
(3)相乗平均(幾何平均)
\[ \mu_{G}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_{k}} \]
(4)重み付き相乗平均
\[ \mu_{G}=\pow\left(\prod_{k=1}^{n}x_{k}^{\;w_{k}},\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\right)^{-1}\right) \]
(5)調和平均
\[ \mu_{H}=n\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}\right)^{-1} \]
(6)重み付き調和平均
\[ \mu_{H}=\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{w_{k}}{x_{k}}\right)^{-1} \]
(7)一般化平均
\[ \mu_{p}=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{\;p}\right)^{\frac{1}{p}} \]
\(\mu_{1}=\mu_{A}\;,\;\mu_{-1}=\mu_{H}\;,\;\lim_{p\rightarrow0}\mu_{p}=\mu_{G}\)となる。
ページ情報
タイトル | 相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義 |
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期待値の基本的性質
\[
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
\]
独立と無相関の定義
\[
P\left(X=x,Y=y\right)=P(X=x)P(Y=y)
\]
相関係数の基本的性質
\[
\rho(X,aY+b)=\rho(X,Y)
\]
誤差関数・相補誤差関数・虚数誤差関数の定義
\[
erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt
\]