相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義

(1)相加平均(算術平均)

\[ \mu_{A}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k} \]

(2)重み付き相加平均

\[ \mu_{A}=\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\right)^{-1}\sum_{k=1}^{n}w_{k}x_{k} \]

(3)相乗平均(幾何平均)

\[ \mu_{G}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_{k}} \]

(4)重み付き相乗平均

\[ \mu_{G}=\pow\left(\prod_{k=1}^{n}x_{k}^{\;w_{k}},\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\right)^{-1}\right) \]

(5)調和平均

\[ \mu_{H}=n\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}\right)^{-1} \]

(6)重み付き調和平均

\[ \mu_{H}=\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{w_{k}}{x_{k}}\right)^{-1} \]

(7)一般化平均

\[ \mu_{p}=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{\;p}\right)^{\frac{1}{p}} \]

\(\mu_{1}=\mu_{A}\;,\;\mu_{-1}=\mu_{H}\;,\;\lim_{p\rightarrow0}\mu_{p}=\mu_{G}\)となる。