選択関数と選択公理の定義

by nomura · 2023年10月31日

選択関数と選択公理の定義

(1)選択関数

空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)に写像\(f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},\lambda\mapsto f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\)となる写像\(f\)を選択関数という。
言い換えると、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の各要素である集合から1つずつ要素を選んで新しい集合を作る写像である。

(2)選択関数

選択関数は空集合を要素に持たない集合族\(\mathcal{A}\)があるとき、写像\(f:\mathcal{A}\rightarrow\bigcup\mathcal{A}:=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}\mathcal{A},x\mapsto f\left(x\right)\in x\)でも定義される。

(3)選択公理

任意の空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)に選択関数が存在するという公理を選択公理という。
または、任意の空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積は空集合ではないと同値である。
式で書くと、
\[ \forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset \] となる。

選択公理は有限個のものを選ぶとき、つまり選択関数\(f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},\lambda\mapsto f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\)の始域\(\Lambda\)が有限集合\(\left|\Lambda\right|<\infty\)のときは\(A_{\lambda}\)の濃度に関わらず、選択公理を認めなくても各\(A_{\lambda}\)から選択することができます。

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選択公理の逆、すなわち、
\[ \forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\Leftarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset \] は常に成り立ちます。
これを示します。
選択公理の逆の対偶をとると、
\[ \exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}=\emptyset\Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset \] となり、直積集合は
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\lambda\in\Lambda,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \] なので、ある\(\lambda_{0}\in\Lambda\)が存在し、\(A_{\lambda_{0}}=\emptyset\)ならば、\(f\left(\lambda_{0}\right)\in A_{\lambda_{0}}=\emptyset\)が偽となり写像\(f\)が存在しないので\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset\)となる。
従って対偶が示されたので、選択公理の逆は成り立つ。