3角関数の関数の定積分
3角関数の関数の定積分
次の定積分が成り立つ。
次の定積分が成り立つ。
(1)
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \](2)
\[ \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \](1)
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx\\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin\left(\pi-x\right)\right)dx\cmt{x\rightarrow\pi-x}\\ & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin x\right)dx\\ & =\pi\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx-\int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx\\ & =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}ページ情報
| タイトル | 3角関数の関数の定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hotxaiee/ |
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ルートの中に2乗を含む積分
\[
\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t}
\]
微分と積分の関係
\[
f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]