3角関数の関数の定積分
3角関数の関数の定積分
次の定積分が成り立つ。
次の定積分が成り立つ。
(1)
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \](2)
\[ \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \](1)
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx\\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin\left(\pi-x\right)\right)dx\cmt{x\rightarrow\pi-x}\\ & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin x\right)dx\\ & =\pi\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx-\int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx\\ & =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}ページ情報
タイトル | 3角関数の関数の定積分 |
URL | https://www.nomuramath.com/hotxaiee/ |
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微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]
ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]