(1)

\(\boldsymbol{0}_{V}\in V\)であり\(f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\)より、\(\boldsymbol{0}_{V}\in\ker f\)であるので\(\ker f\)は零元\(\boldsymbol{0}_{V}\)を元にもつ。
また、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\ker f,c\in K\)について、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\boldsymbol{0}_{V}+\boldsymbol{0}_{V}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となるので\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in\ker f\)となり和で閉じていて
\begin{align*} f\left(c\boldsymbol{x}\right) & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =c\boldsymbol{0}_{V}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となるので\(c\boldsymbol{x}\in\ker f\)となりスカラー倍で閉じている。
従って、\(\ker f\)は零元・和・スカラー倍を満たすので部分空間となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

\(\boldsymbol{0}_{V}\in V\)であり\(f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\)より、\(\boldsymbol{0}_{W}\in\im f\)であるので\(\im f\)は零元\(\boldsymbol{0}_{W}\)を元にもつ。
また、任意の\(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\in\im f,c\in K\)について、ある元\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in V\)が存在し、\(f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)=\boldsymbol{y}_{1},f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)=\boldsymbol{y}_{2}\)と表すことができ、
\begin{align*} \boldsymbol{y}_{1}+\boldsymbol{y}_{2} & =f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & \in\im f \end{align*} となるので、和で閉じていて
\begin{align*} c\boldsymbol{y}_{1} & =cf\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)\\ & =f\left(c\boldsymbol{x}_{1}\right)\\ & \in\im f \end{align*} となるので、スカラー倍で閉じている。
従って、\(\im f\)は零元・和・スカラー倍を満たすので部分空間となる。
故に題意は成り立つ。