指数方程式の問題

指数方程式の問題

\[ 16^{\frac{x-1}{x}}3^{x}=36 \]

を満たす実数\(x\)を全て求めよ。

両辺の対数をとると、

\[ 4\frac{x-1}{x}\log2+x\log3=2\left(\log2+\log3\right) \]

整理すると、

\begin{align*} 0 & =4\frac{x-1}{x}\log2+x\log3-2\left(\log2+\log3\right)\\ & =x^{-1}\left\{ 4\left(x-1\right)\log2+x^{2}\log3-2x\left(\log2+\log3\right)\right\} \\ & =x^{-1}\left\{ \left(\log3\right)x^{2}+2\left(\log2-\log3\right)x-4\log2\right\} \end{align*}

\(x^{-1}\ne0\)なので、

\[ \left(\log3\right)x^{2}+2\left(\log2-\log3\right)x-4\log2=0 \]

となる。
\(x\)についての2次方程式なので、\(x\)について解くと、

\begin{align*} x & =\frac{-\left(\log2-\log3\right)\pm\sqrt{\left(\log2-\log3\right)^{2}+4\log\left(3\right)\log\left(2\right)}}{\log3}\\ & =\frac{-\left(\log2-\log3\right)\pm\sqrt{\left(\log2+\log3\right)^{2}}}{\log3}\\ & =\frac{-\left(\log2-\log3\right)\pm\left(\log2+\log3\right)}{\log3}\\ & =\frac{\left(-1\pm1\right)\log2+\left(1\pm1\right)\log3}{\log3}\\ & =2,-\frac{2\log2}{\log3} \end{align*}

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指数方程式の問題

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