集合の分割の定義

by nomura · 2023年8月18日

集合の分割の定義
集合$A$と$A$の空でない部分集合族$\mathcal{P}=\left\{ P_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}$があり、任意の$x\in A$に対し$x\in A\in\mathcal{P}$を満たす$A$がただ1つのみ存在するとき、$\mathcal{P}$は$A$の分割であるという。
これは以下が全て成り立つことと同値である。

(a)空集合

\[ \emptyset\notin\mathcal{P} \]

(b)和集合

\[ \bigcup\mathcal{P}=A \]

(c)積集合

\[ \forall P_{1}\in\mathcal{P},\forall P_{2}\in\mathcal{P},P_{1}\ne P_{2}\Rightarrow P_{1}\cap P_{2}=\emptyset \]

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有限集合の場合は、元の個数を$n$とすると分割の仕方は$B_{n}$通りある。
ここで$B_{n}$はベル数である。
$n=1$のとき1通り、$n=2$のとき2通り、$n=3$のとき5通り、$n=4$のとき15通り、$n=5$のとき52通り、$n=6$のとき203通り、$n=7$のとき877通りとなる。

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集合$\left\{ a\right\} $の分割は$\left\{ \left\{ a\right\} \right\} $の１つしかない。
任意の空でない集合$A$に対し$\left\{ A\right\} $は分割の1つである。
任意の集合$A$に対し、空でない真部分集合$P$と$A\setminus P$は分割の1つである。

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タイトル	集合の分割の定義
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べき零行列$N$は正則ではない。

同次連立1次方程式の定義と性質

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連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質

\[ \left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right) \]

(*)階数の性質

\[ \rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right) \]