相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係

相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係

正の実数の平均について、

\[ \text{調和平均}\leq\text{相乗平均}\leq\text{相加平均} \]

が成り立つ。

すなわち、\(k\in\mathbb{N}\;,\;0<a_{k}\)とすると、

\[ \frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{\;-1}}\leq\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \]

である。

等号成立条件は\(a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}\)である。

(0)

\(\text{相乗平均}\leq\text{相加平均}\)の証明

\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}} & =\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\exp^{\frac{1}{n}}\left(\frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}\sum_{j=1}^{n}a_{j}-n\right)-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\\ & =\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\exp^{\frac{1}{n}}\left\{ \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}a_{j}-1\right)\right\} -\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\\ & =\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}\exp\left(\frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}a_{j}-1\right)}-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\\ & \geq\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}\left\{ 1+\left(\frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}a_{j}-1\right)\right\} }-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\\ & =\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\prod_{j=1}^{n}\sqrt[n]{\frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}a_{j}}-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\\ & =\prod_{j=1}^{n}\sqrt[n]{a_{j}}-\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\\ & =0 \end{align*}

これより、

\[ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \]

等号は任意の\(j\)について

\[ \exp\left(\frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}a_{j}-1\right)=1 \]

が成り立つ場合なので、

\[ a_{j}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \]

となり、\(a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}\)となる場合である。

\(\text{調和平均}\leq\text{相乗平均}\)の証明

\begin{align*} \frac{n}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{\;-1}} & =\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{\;-1}\right)^{-1}\\ & \leq\left(\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}^{\;-1}}\right)^{-1}\\ & =\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}} \end{align*}

等号は\(a_{1}^{\;-1}=a_{2}^{\;-1}=\cdots=a_{n}^{\;-1}\)すなわち、\(a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}\)のときである。

(0)-2

2変数の場合

\begin{align*} \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} & =\left(\sqrt{\frac{a}{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{\frac{b}{2}}\right)^{2}-\sqrt{ab}\\ & =\left(\sqrt{\frac{a}{2}}-\sqrt{\frac{b}{2}}\right)^{2}\\ & \geq0 \end{align*}

より、

\[ \sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2} \]

が成り立つ。

等号は\(a=b\)のときである。

3変数の場合

\begin{align*} \frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} & =\left(\sqrt[3]{\frac{a}{3}}\right)^{3}+\left(\sqrt[3]{\frac{b}{3}}\right)^{3}+\left(\sqrt[3]{\frac{c}{3}}\right)^{3}-3\sqrt[3]{\frac{a}{3}\frac{b}{3}\frac{c}{3}}\\ & =\left(\sqrt[3]{\frac{a}{3}}+\sqrt[3]{\frac{b}{3}}+\sqrt[3]{\frac{c}{3}}\right)\left(\left(\sqrt[3]{\frac{a}{3}}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{\frac{b}{3}}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{\frac{c}{3}}\right)^{2}-\sqrt[3]{\frac{a}{3}}\sqrt[3]{\frac{b}{3}}-\sqrt[3]{\frac{b}{3}}\sqrt[3]{\frac{c}{3}}-\sqrt[3]{\frac{c}{3}}\sqrt[3]{\frac{a}{3}}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{a}{3}}+\sqrt[3]{\frac{b}{3}}+\sqrt[3]{\frac{c}{3}}\right)\left(\left(\sqrt[3]{\frac{a}{3}}-\sqrt[3]{\frac{b}{3}}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{\frac{b}{3}}-\sqrt[3]{\frac{c}{3}}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{\frac{c}{3}}-\sqrt[3]{\frac{a}{3}}\right)^{2}\right)\\ & \geq0 \end{align*}

より、

\[ \sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}{3} \]

が成り立つ。

等号は\(a=b=c\)のときである。

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相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係

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