logの2乗の級数表示
\(\log^{2}(1-x)\)は以下のように級数で表される。
\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1} \] ここで、\(H_k\)は調和数である。
\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1} \] ここで、\(H_k\)は調和数である。
\[
\log(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}
\]
より、
\begin{align*} \log^{2}(1-x) & =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{jk}x^{j+k}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\frac{1}{(t-k)k}x^{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\left(\frac{1}{t-k}+\frac{1}{k}\right)\frac{x^{t}}{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\frac{2H_{t-1}}{t}x^{t}\\ & =2\sum_{t=1}^{\infty}\frac{H_{t}}{t+1}x^{t+1} \end{align*}
\begin{align*} \log^{2}(1-x) & =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{jk}x^{j+k}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\frac{1}{(t-k)k}x^{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\left(\frac{1}{t-k}+\frac{1}{k}\right)\frac{x^{t}}{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\frac{2H_{t-1}}{t}x^{t}\\ & =2\sum_{t=1}^{\infty}\frac{H_{t}}{t+1}x^{t+1} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | logの2乗の級数表示 |
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関数の極限
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right||<\epsilon
\]
対数の公式
\[
\log M-\log N=\log\frac{M}{N}
\]
ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]