(1)

\(z\ne0\)のとき、\(z^{\alpha}\)は
\begin{align*} z^{\alpha} & =z^{\Re\left(\alpha\right)+i\Im\left(\alpha\right)}\\ & =z^{\Re\left(\alpha\right)}z^{i\Im\left(\alpha\right)}\\ & =z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\Log\left(z\right)}\\ & =z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\left(\log\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\right)}\\ & =z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)+i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\\ & =z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\\ & =z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|} \end{align*} となる。

\(0<\Re\left(\alpha\right)\)のとき、

\begin{align*} \left|\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\right| & =\left|\lim_{z\rightarrow0}z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\right|\cmt{\because z\ne0}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left|z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\right|\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left(\left|z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\right|\left|e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\right|\right)\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left|z\right|^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left|z\right|^{\Re\left(\alpha\right)}\lim_{z\rightarrow0}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\\ & =0\cmt{\because0<\Re\left(\alpha\right)\rightarrow\lim_{z\rightarrow0}\left|z\right|^{\Re\left(\alpha\right)}=0} \end{align*} となる。

\(\Re\left(\alpha\right)<0\)のとき

\begin{align*} \left|\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\right| & =\left|\lim_{z\rightarrow0}z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\right|\cmt{\because z\ne0}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left|z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\right|\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left(\left|z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\right|\left|e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\right|\right)\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left|z\right|^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\left|z\right|^{\Re\left(\alpha\right)}\lim_{z\rightarrow0}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\\ & =\infty\cmt{\because\Re\left(\alpha\right)<0\rightarrow\lim_{z\rightarrow0}\left|z\right|^{\Re\left(\alpha\right)}=\infty} \end{align*} となるので\(\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\)は発散する。

\(\alpha=0\)のとき

\begin{align*} \lim_{z\rightarrow0}z^{0} & =\lim_{z\rightarrow0}z^{1-1}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}\frac{z}{z}\cmt{\because z\ne0}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}1\\ & =1 \end{align*} となる。

\(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\)のとき

\begin{align*} \lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha} & =\lim_{z\rightarrow0}z^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\cmt{\because z\ne0}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}z^{0}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|}\\ & =\lim_{z\rightarrow0}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(z\right)}\lim_{z\rightarrow0}e^{i\Im\left(\alpha\right)\log\left|z\right|} \end{align*} となり、\(\lim_{z\rightarrow0}\log\left|z\right|=-\infty\)なので、\(\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\)は発散する。

-

これらより、
\[ \lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases} 0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\ 1 & \alpha=0\\ \text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right) \end{cases} \] となる。

(2)

\(0^{\alpha}=e^{\alpha\Log\left(0\right)}\)は\(\Log\left(0\right)\)が定義できないので、極限\(\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\)で考える。
極限\(\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\)で考えて、収束するときはその値を使い、不定形となるときは不定形として、発散するときは未定義とする。

\(0<\Re\left(\alpha\right)\)のとき

\(\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=0\)となるので、\(0^{\alpha}=0\)となる。

\(\alpha=0\)のとき、

\(\alpha=0\)のとき、\(0^{0}\)となりこれを極限で表すと、\(\lim_{z\rightarrow0}z^{0}=1\)であるが、\(\lim_{\alpha\rightarrow0}0^{\alpha}=0\)であり値が定まらないので、\(0^{0}\)は不定形となる。

\(\Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)\)のとき

\(\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}\)は発散するので、\(0^{\alpha}\)は未定義になります。

-

これらより
\[ 0^{\alpha}=\begin{cases} 0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\ \text{不定形} & \alpha=0\\ \text{未定義} & \left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)\lor\Re\left(\alpha\right)<0 \end{cases} \] となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

\(z\ne0\)のとき

\begin{align*} \lim_{\alpha\rightarrow0}z^{\alpha} & =\lim_{\alpha\rightarrow0}e^{\alpha\Log\left(z\right)}\\ & =e^{0}\\ & =1 \end{align*}

\(z=0\)のとき

\(\alpha\)を極形式で\(re^{i\theta}=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)として、\(\alpha\rightarrow0\)のとき\(r\rightarrow+0\)とすると、
\begin{align*} \lim_{\alpha\rightarrow0}z^{\alpha} & =\lim_{\alpha\rightarrow0}0^{\alpha}\\ & =\lim_{r\rightarrow+0}0^{r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)}\\ & =\lim_{r\rightarrow+0}0^{r\cos\theta+ir\sin\theta}\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}0^{r\cos\theta}0^{ir\sin\theta} & -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\\ \lim_{r\rightarrow+0}0^{\pm ir} & \theta=\pm\frac{\pi}{2}\\ \lim_{r\rightarrow+0}0^{r\cos\theta}0^{ir\sin\theta} & -\pi<\theta<-\frac{\pi}{2}\lor\frac{\pi}{2}<\theta\leq\pi \end{cases}\\ & =\begin{cases} \lim_{r\rightarrow+0}0^{r}0^{ir\tan\theta} & -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\\ \lim_{r\rightarrow+0}e^{\pm ir\Log\left(0\right)} & \theta=\pm\frac{\pi}{2}\\ \lim_{r\rightarrow+0}0^{-r}0^{ir\tan\theta} & -\pi<\theta<-\frac{\pi}{2}\lor\frac{\pi}{2}<\theta\leq\pi \end{cases}\\ & =\begin{cases} 0 & -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\\ \text{発散} & \theta=\pm\frac{\pi}{2}\\ \text{発散} & -\pi<\theta<-\frac{\pi}{2}\lor\frac{\pi}{2}<\theta\leq\pi \end{cases}\\ & =\begin{cases} 0 & -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\\ \text{発散} & -\pi<\theta\leq-\frac{\pi}{2}\lor\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi \end{cases} \end{align*} となるので値が定まらず発散する。

-

これらより、
\[ \lim_{\alpha\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases} 1 & z\ne0\\ \text{発散} & z=0 \end{cases} \] となる。

(4)

\(z\ne0\)のとき

\begin{align*} z^{0} & =e^{0\cdot\Log\left(z\right)}\\ & =e^{0}\\ & =1 \end{align*}

\(z=0\)のとき、

\(0^{0}\)は直接計算ができないので極限で表すと、\(\lim_{z\rightarrow0}z^{0}=1\)であるが、\(\lim_{\alpha\rightarrow0}0^{\alpha}=0\)であり値が定まらないので、\(0^{0}\)は不定形となる。

-

これらより、
\[ z^{0}=\begin{cases} 1 & z\ne0\\ \text{不定形} & z=0 \end{cases} \] となる。
従って題意は成り立つ。