第1可算空間であるなら基本近傍系は減少列にとれる
第1可算空間であるなら基本近傍系は減少列にとれる
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が第1可算空間であるなら\(X\)の任意の元\(a\)に対し基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)を減少列にとれる。
すなわち、\(B_{x,1}\supseteq B_{x,2}\supseteq\cdots\supseteq B_{x,n}\supseteq\cdots\)ととれる。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が第1可算空間であるなら\(X\)の任意の元\(a\)に対し基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)を減少列にとれる。
すなわち、\(B_{x,1}\supseteq B_{x,2}\supseteq\cdots\supseteq B_{x,n}\supseteq\cdots\)ととれる。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離\(d\)をいれた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)では\(a\in\mathbb{R}\)の基本近傍系を\(\left(U\left(a,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{R}\right)\)ととれば\(U\left(a,1\right)\supseteq U\left(a,\frac{1}{2}\right)\supseteq\cdots\)\(\supseteq U\left(a,\frac{1}{n}\right)\supseteq\cdots\)と減少列になる。
第1可算空間なので基本近傍系は\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)と可算濃度で表される。
このとき、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n}B_{x,k}\)ととると、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n-1}B_{x,k}\cap B_{x,n}=B_{x,n-1}'\cap B_{x,n}\)となり\(B_{x,n-1}'\supseteq B_{x,n}'\)なので減少列となる。
次にこの\(\mathcal{B}_{x}'=\left\{ B_{x,n}';n\in\mathbb{N}\right\} \)が基本近傍系になっていることを示す。
\(x\in X\)の任意の近傍\(U_{x}\)に対し、ある\(B_{x,n}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(\mathcal{B}_{x}\)は基本近傍系なので\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\)を満たす。
ここで、\(B_{x,n}'\subseteq B_{x,n}\)であるので、\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\rightarrow x\in B_{x,n}'\subseteq U_{x}\)となる。
従って、\(\mathcal{B}_{x}'\)も基本近傍系となる。
故に基本近傍系は減少列にとれる。
このとき、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n}B_{x,k}\)ととると、\(B_{x,n}'=\bigcap_{k=1}^{n-1}B_{x,k}\cap B_{x,n}=B_{x,n-1}'\cap B_{x,n}\)となり\(B_{x,n-1}'\supseteq B_{x,n}'\)なので減少列となる。
次にこの\(\mathcal{B}_{x}'=\left\{ B_{x,n}';n\in\mathbb{N}\right\} \)が基本近傍系になっていることを示す。
\(x\in X\)の任意の近傍\(U_{x}\)に対し、ある\(B_{x,n}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(\mathcal{B}_{x}\)は基本近傍系なので\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\)を満たす。
ここで、\(B_{x,n}'\subseteq B_{x,n}\)であるので、\(x\in B_{x,n}\subseteq U_{x}\rightarrow x\in B_{x,n}'\subseteq U_{x}\)となる。
従って、\(\mathcal{B}_{x}'\)も基本近傍系となる。
故に基本近傍系は減少列にとれる。
ページ情報
| タイトル | 第1可算空間であるなら基本近傍系は減少列にとれる |
| URL | https://www.nomuramath.com/cgdo3670/ |
| SNSボタン |
数列の極限
ブレートシュナイダーの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}
\]
(拡張)多重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(ak+b\right)!_{a}}=\frac{e^{\frac{1}{a}}a^{\frac{b}{a}}\Gamma\left(\frac{b}{a}+1\right)}{b!_{a}}\left(\frac{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1,\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{b}{a},\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a}\right)}\right)
\]
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。