外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ
\[
p=\sqrt{\frac{cd\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}}
\]
カテゴリー: 幾何学
接弦定理
\[
\angle BAP=\angle BCA
\]
2等分線同士のなす角
\[
\angle CPB=\frac{\pi+\angle CAB}{2}
\]
角の2等分線の性質
\[
\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}
\]
中点連結定理
\[
\left|BC\right|=2\left|MN\right|
\]
チェバの定理・メネラウスの定理とその逆
\[
\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1
\]
スチュワートの定理と中線定理と平行4辺形公式
\[
xa^{2}+yb^{2}=c\left(d^{2}+xy\right)
\]
3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
\[
\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}
\]
チャップル・オイラーの定理とオイラーの不等式と外接円の半径と内接円の半径の比
\[
\left|IJ\right|^{2}=R^{2}-2Rr
\]
双心4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}
\]
円に内接する4角形の対角の和
\[
\angle DAB+\angle BCD=\pi
\]
方べきの定理
\[
\left|PA_{1}\right|\left|PA_{2}\right|=\left|OP\right|^{2}-r^{2}
\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[
\angle BOA=2\angle BPA
\]
面積ベクトルと角度の符号
\[
\overrightarrow{\triangle ABC}:=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}
\]
円に内接する4角形の余弦
\[
\cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)}
\]
3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]
鋭角・直角・鈍角と鋭角3角形・直角3角形・鈍角3角形の定義と性質
$0^{\circ}$より大きく$90^{\circ}$より小さい角を鋭角という。
3角形の角と対辺の大小関係
\[
A<B\Leftrightarrow a<b
\]
3角形上での3角関数
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\]
3角形の角度と長さの関係
\[
a\cos A+b\cos B+c\cos C=\frac{8S^{2}}{abc}
\]
5心と頂点までの距離
\[
\left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9}
\]
重心・垂心・外心の関係
\[
\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G}
\]
第1余弦定理と第2余弦定理
\[
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A
\]
正弦定理
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]
3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示
\begin{align*}
S & =\frac{abc}{4R}\\
& =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\
& =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\
& =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)
\end{align*}
5心(重心・垂心・内心・外心・傍心)の位置
\[
\boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C}
\]