偏角の和と積の偏角
偏角の和と積の偏角
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
偏角を\([a,a+2\pi),-2\pi<a\leq0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in[a/2,a/2+\pi)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(2)
偏角を\((a,a+2\pi]\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(3)
偏角を\((-\pi,\pi]\)とすると\(0\leq\Arg\left(\alpha\right)\;\land\;\Arg\left(\beta\right)\leq0\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
上側は\(a\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。同様に下側は\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。
(2)
\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)より、\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。下側も同様に成り立つ。
(3)
\(-\pi\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<\pi\)となるので、\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 偏角の和と積の偏角 |
| URL | https://www.nomuramath.com/azeqmefr/ |
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0の極限のべき乗と0の極限乗
\[
\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}
0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\
1 & \alpha=0\\
\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)
\end{cases}
\]
複素指数関数の極形式
\[
\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
負数の偏角と対数
\[
\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi
\]