(a)\(\Rightarrow\)(b)

任意の\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、
\begin{align*} \left\langle f\left(\boldsymbol{a}_{i}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\delta_{i,j} \end{align*} となるので、\(\left\{ f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right)\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は正規直交基底となる。
従って題意は成り立つ。

(a)\(\Leftarrow\)(b)

任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{a}_{k}\)と表すことができるので、
\begin{align*} \left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle & =\left\langle f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{a}_{k}\right),f\left(\sum_{j=1}^{n}y_{j}\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle \sum_{k=1}^{n}x_{k}f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right),\sum_{j=1}^{n}y_{j}f\left(\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\sum_{j=1}^{n}y_{j}\left\langle f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\sum_{j=1}^{n}y_{j}\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\left\langle \sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{a}_{k},\sum_{j=1}^{n}y_{j}\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となり、ユニタリ変換となる。
従って題意は成り立つ。

(a)\(\Rightarrow\)(c)

ユニタリ変換の定義より、
\begin{align*} \left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2} & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} となり、\(0\leq\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ,0\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)なので\(\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
従って題意は成り立つ。

(a)\(\Leftarrow\)(c)

任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、\(\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert \)となるので\(\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\)となる。
左辺は
\begin{align*} \left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2} & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle +\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle +\left\langle f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle +\left\langle f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \\ & =\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}+\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle +\left\langle f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle +\left\Vert f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle +\left\langle f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle +\overline{\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle }+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} 右辺は
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle }+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} となり、
\[ \Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right)=\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right) \] となる。
ここで\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(\boldsymbol{x}\rightarrow i\boldsymbol{x}\)とすると、左辺は
\begin{align*} \Re\left(\left\langle f\left(i\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right) & =\Re\left(\left\langle if\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right)\\ & =\Re\left(i\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right)\\ & =-\Im\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right) \end{align*} 右辺は、
\begin{align*} \Re\left(\left\langle i\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right) & =\Re\left(i\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\\ & =-\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right) \end{align*} となるので、
\[ \Im\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \right)=\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right) \] となる。
これらより、実部、虚部共に
\[ \left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \] となるのでユニタリ変換となる。
従って題意は成り立つ。

(b)\(\Rightarrow\)(d)

正規直交基底\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)に関する\(f\)の表現行列\(U=\left(u_{i,j}\right)\)は
\[ \left(f\left(\boldsymbol{a}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{a}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)U \] となるので
\[ f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right)=\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{a}_{j}u_{k,j} \] となる。
また、\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)と\(\left\{ f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right)\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は正規直交基底で、\(\left\langle f\left(\boldsymbol{a}_{i}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \)となるので、左辺は、
\begin{align*} \left\langle f\left(\boldsymbol{a}_{i}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle & =\left\langle \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}u_{i,k},\sum_{l=1}^{n}\boldsymbol{a}_{l}u_{j,l}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}u_{i,k}\sum_{l=1}^{n}\overline{u_{j,l}}\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{l}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}u_{i,k}\sum_{l=1}^{n}\overline{u_{j,l}}\delta_{kl}\\ & =\sum_{l=1}^{n}u_{i,l}\overline{u_{j,l}}\\ & =\left(UU^{*}\right)_{i,j} \end{align*} 右辺は、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle & =\delta_{ij}\\ & =\left(I\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ UU^{*}=I \] とな。
従って、\(U\)はユニタリ行列になるので題意は成り立つ。

(b)\(\Leftarrow\)(d)

正規直交基底\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)に関する\(f\)の表現行列\(U=\left(u_{i,j}\right)\)は
\[ \left(f\left(\boldsymbol{a}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{a}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)U \] となので、
\[ f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right)=\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{a}_{j}u_{k,j} \] となる。
これより、
\begin{align*} \left\langle f\left(\boldsymbol{a}_{i}\right),f\left(\boldsymbol{a}_{j}\right)\right\rangle & =\left\langle \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}u_{i,k},\sum_{l=1}^{n}\boldsymbol{a}_{l}u_{j,l}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}u_{i,k}\sum_{l=1}^{n}\overline{u_{j,l}}\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{l}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}u_{i,k}\sum_{l=1}^{n}\overline{u_{j,l}}\delta_{kl}\\ & =\sum_{l=1}^{n}u_{i,l}\overline{u_{j,l}}\\ & =\left(UU^{*}\right)_{i,j}\\ & =\delta_{i,j} \end{align*} となるので、\(\left\{ f\left(\boldsymbol{a}_{k}\right)\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は正規直交基底となる。
従って題意は成り立つ。

-

これらより、(a)\(\Leftrightarrow\)(b)\(\Leftrightarrow\)(c)\(\Leftrightarrow\)(d)が成り立つ。

(2)

\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\boldsymbol{y}\right)\)であるとき、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \cmt{\because\text{ユニタリ変換}}\\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle \cmt{\because f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\boldsymbol{y}\right)}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert =0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
従って、\(f\)は単射となる。