区分的に連続と区分的に滑らかの定義
区分的に連続と区分的に滑らかの定義
区分的に連続と区分的に滑らかは次で定義される。
ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
区分的に連続と区分的に滑らかは次で定義される。
(1)区分的に連続
関数\(f\left(x\right)\)が区間\(\left[a,b\right]\)で有限個の点を除いて\(C^{0}\)級(\(f\left(x\right)\)が連続)であり、不連続点では\(f\left(x\right)\)が左極限値と右極限値が存在して有限であるとき、区分的に滑らかという。ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
(2)区分的に滑らか
関数\(f\left(x\right)\)が区間\(\left[a,b\right]\)で有限個の点を除いて\(C^{1}\)級(導関数が存在し導関数が連続)であり、不連続点では\(f\left(x\right)\)と\(f'\left(x\right)\)が左極限値と右極限値が存在して有限であるとき、区分的に滑らかという。ただし、\(a\)では右極限値、\(b\)では左極限値のみでよい。
符号関数\(\sgn\left(x\right)\)、ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は区分的に連続であり、区分的に滑らかである。
\(\left|\sin x\right|\)は区分的に連続であるが、\(\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots\)と無限の点で導関数が不連続なので区分的に滑らかではない。
\(\left|\sin x\right|\)は区分的に連続であるが、\(\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots\)と無限の点で導関数が不連続なので区分的に滑らかではない。
ページ情報
| タイトル | 区分的に連続と区分的に滑らかの定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hxasab2e/ |
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畳み込みの性質
\[
\mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)
\]
エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。
有理数全体の集合
\[
f\left(x\right)=\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} }
\]
畳み込みの定義
\[
\left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt
\]