全体集合と補集合の定義
全体集合と補集合の定義
すなわち、\(x\notin A\Leftrightarrow x\in A^{c}\)である。
また、\(x\in A\Leftrightarrow x\notin A^{c}\)も成り立つ。
(1)全体集合(普遍集合)
考えている対象全体を全体集合または普遍集合という。(2)補集合
全体集合\(X\)の中で集合\(A\)に含まれない要素全てを集めた集合を\(A\)の補集合といい、\(A^{c}:=X\setminus A\)で表す。すなわち、\(x\notin A\Leftrightarrow x\in A^{c}\)である。
また、\(x\in A\Leftrightarrow x\notin A^{c}\)も成り立つ。
全体集合を\(X=\left\{ a,b,c\right\} \)とする。
このとき、
\(\left\{ a\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} =\left\{ b,c\right\} \)
\(\left\{ a,b\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} =\left\{ c\right\} \)
となる。
このとき、
\(\left\{ a\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} =\left\{ b,c\right\} \)
\(\left\{ a,b\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} =\left\{ c\right\} \)
となる。
ページ情報
| タイトル | 全体集合と補集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/renj8eqj/ |
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0ベクトルとの内積
\[
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0
\]
パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]