(1)

距離空間\(\Rightarrow\)正規空間

任意の閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq X\)を\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)となるようにとる。
ここで、
\[ \begin{cases} U_{1}=\left\{ x;d\left(x,F_{1}\right)<d\left(x,F_{2}\right)\right\} \\ U_{2}=\left\{ x;d\left(x,F_{1}\right)>d\left(x,F_{2}\right)\right\} \end{cases} \] となるようにとると\(U_{1}\cap U_{2}=\emptyset\)となる。
また、\(x\in F_{1}\)のとき、\(0=d\left(x,F_{2}\right)\)と仮定すると、\(F_{2}\)は閉集合なので\(x\in F_{2}^{a}=F_{2}\)となり\(x\in F_{1}\cap F_{2}\)となるので矛盾するので\(0<d\left(x,F_{2}\right)\)となる。
従って、\(d\left(x,F_{1}\right)=0,0<d\left(x,F_{2}\right)\)となるので\(x\in U_{1}\)となり、\(F_{1}\subseteq U_{1}\)となる。
同様に\(F_{2}\subseteq U_{2}\)となる。
このとき、\(f:X\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f\left(x\right)=d\left(x,F_{2}\right)-d\left(x,F_{1}\right)\)とすると連続写像となる。
これを使うと、\(U_{1}=\left\{ x;0<f\left(x\right)\right\} =f^{\bullet}\left(\left(0,\infty\right)\right)\)となり\(U_{1}\)は開集合の逆像なので開集合となる。
同様に\(U_{2}\)も開集合となる。
まとめると、任意の閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq X\)に対し、\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)であればある開集合\(U_{1},U_{2}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(F_{1}\subseteq U_{1},F_{2}\subseteq U_{2},U_{1}\cap U_{2}=\emptyset\)となる。
故に\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)は正規空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例はゾルゲンフライ直線である。

正規空間\(\Rightarrow\)正則空間

\(\Rightarrow\)

正規空間は\(T_{4}\)空間かつ\(T_{1}\)空間で、正則空間は\(T_{3}\)空間かつ\(T_{1}\)空間なので、\(T_{4}\)空間かつ\(T_{1}\)空間ならば\(T_{3}\)空間を示せればいい。
\(T_{4}\)空間なので、任意の閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq X\)に対し、ある開集合\(U,V\in\mathcal{O}\)が存在し、\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)ならば、\(F_{1}\subseteq U,F_{2}\subseteq V,U\cap V=\emptyset\)を満たす。
また、\(T_{1}\)空間であることと、任意の単集合は閉集合となることは同値である。
これより、任意の\(x\in X\)に対し、\(\left\{ x\right\} \)は閉集合なので\(F_{1}=\left\{ x\right\} \)とおけば\(\left\{ x\right\} \cap F_{2}=\emptyset\)ならば、\(\left\{ x\right\} \subseteq U,F_{2}\subseteq V,U\cap V=\emptyset\)を満たす。
このとき、\(\left\{ x\right\} \cap F_{2}=\emptyset\Leftrightarrow\left\{ x\right\} \subseteq F_{2}^{c}\Leftrightarrow x\in F_{2}^{c}\Leftrightarrow x\notin F_{2}\)であり、\(\left\{ x\right\} \subseteq U\Leftrightarrow x\in U\)なので、\(x\notin F_{2}\)ならば\(x\in U,F_{2}\subseteq V,U\cap V=\emptyset\)となり\(T_{3}\)空間となる。
従って、\(T_{3}\)空間かつ\(T_{1}\)空間となるので正則空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例はゾルゲンフライ平面である。

正則空間\(\Rightarrow T_{2}\)空間

\(\Rightarrow\)

正則空間なので\(T_{1}\)空間で\(T_{3}\)空間である。
\(T_{1}\)空間であることと単集合が閉集合であることは同値である。
これより、\(T_{3}\)空間なので、任意の点\(x\in X\)と任意の閉集合\(F\subseteq X\)に対し、ある開集合\(U,V\)が存在し、\(x\notin F\)ならば、\(x\in U,F\subseteq V,U\cap V=\emptyset\)を満たす。
ここで閉集合として\(\left\{ y\right\} =F\subseteq X\)を選べば、\(F\subseteq X\Leftrightarrow\left\{ y\right\} \subseteq X\Leftrightarrow y\in X,x\notin F\Leftrightarrow x\notin\left\{ y\right\} \Leftrightarrow x\ne y,F\subseteq V\Leftrightarrow\left\{ y\right\} \subseteq V\Leftrightarrow y\in V\)となる。
従って、任意の\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U,V\)が存在し、\(x\ne y\rightarrow x\in U,y\in V,U\cap V=\emptyset\)となるので\(T_{2}\)空間となる。

別証明

正則空間なので\(T_{1}\)空間であり、任意の異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U\)が存在し、\(x\in U\land y\notin U\)となるので\(x\in U\land y\notin U\Leftrightarrow x\in U\land y\in U^{c}\)となる。
ここで\(U^{c}\)は閉集合で\(F=U^{c}\)とおくと、\(x\notin U^{c}=F\)となる。
また、正則空間なので\(T_{3}\)空間であり、\(x\notin F\)なので、ある開集合\(U_{1},U_{2}\)が存在し、\(x\in U_{1},F\subseteq U_{2}\)となるので\(x\in U_{1},y\in U^{c}=F\subseteq U_{2},U_{1}\cap U_{2}=\emptyset\)となり\(T_{2}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例は実数全体の集合\(\mathbb{R}\)にK位相をいれた位相である。

\(T_{2}\)空間\(\Rightarrow T_{1}\)空間

\(T_{2}\)空間なので、任意の異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U,V\)が存在し、\(x\in U,y\in V,U\cap V=\emptyset\)となるので、\(x\in U,y\in V,U\cap V=\emptyset\Leftrightarrow x\in U,y\notin V^{c},U\subseteq V^{c}\Rightarrow x\in U,y\notin U\)となるので\(T_{1}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例は実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)である。。

\(T_{1}\)空間\(\Rightarrow T_{0}\)空間

\(\Rightarrow\)

\(T_{1}\)空間なので任意の異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U\)が存在し、\(x\in U\land y\notin U\)となるので、\(x\in U\land y\notin U\Rightarrow\left(x\in U\land y\notin U\right)\lor\left(y\in U\land x\notin U\right)\)となるので\(T_{0}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例はシェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。

(2)

反例はシェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)となる。
閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)となるのは\(F_{1}=F_{2}=\emptyset\)のときのみであるが、開集合を\(\emptyset,\emptyset\)ととれば、\(\emptyset\subseteq\emptyset,\emptyset\subseteq\emptyset,\emptyset\cap\emptyset=\emptyset\)となるので\(T_{4}\)空間となる。
しかし元\(a\)と閉集合\(\left\{ b\right\} \)が開集合で分離できないので\(T_{3}\)空間ではない。

-

反例は\(\left(\left\{ a,b,c,\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となり元\(a\)と閉集合\(\left\{ b\right\} \)が開集合で分離できないので\(T_{3}\)空間ではない。

(3)

反例は密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \)である
元\(x\in\left\{ a,b\right\} \)と閉集合\(F\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(\left\{ x\right\} \cap F=\emptyset\)となるのは\(F=\emptyset\)のときのみであるが、開集合を\(\left\{ a,b\right\} ,\emptyset\)ととると、\(x\in\left\{ a,b\right\} ,\emptyset\subseteq\emptyset,\left\{ a,b\right\} \cap\emptyset=\emptyset\)となるので\(T_{3}\)空間となる。
しかし、元\(a,b\)は開集合で分離できないので\(T_{2}\)空間ではない。

-

反例は\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となり、元\(b,c\)が開集合で分離できないので\(T_{2}\)ではない。

(4)

反例は密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \)となる。
閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)となるのは\(F_{1}=F_{2}=\emptyset\)のときのみであるが、開集合を\(\emptyset,\emptyset\)ととれば、\(\emptyset\subseteq\emptyset,\emptyset\subseteq\emptyset,\emptyset\cap\emptyset=\emptyset\)となるので\(T_{4}\)空間となる。
しかし、元\(a,b\)は開集合で分離できないので\(T_{2}\)空間ではない。

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反例は\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となり、元\(b,c\)が開集合で分離できないので\(T_{2}\)ではない。

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反例は\(\left(\left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \)となり、元\(a,b\)が開集合で分離できないので\(T_{2}\)ではない。