(1)

\(A\in2^{A}\)は成り立つが、一般に\(A\nsubseteq2^{A}\)であるので注意。
また\(\emptyset\in2^{A}\)と\(\emptyset\subseteq2^{A}\)はどちらも成り立つ。

(2)

\(A=\left\{ a,b\right\} \)のとき\(2^{A}=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)なので\(A\in2^{A}\)は成り立つが、\(A\subseteq2^{A}\)は成り立たないので\(A\nsubseteq2^{A}\)となる。
また冪集合は必ず空集合を含むので\(\emptyset\in2^{A}\)が成り立ち、空集合は任意の集合の部分集合であるので、\(\emptyset\subseteq2^{A}\)が成り立つ。

(3)

空集合の冪集合は\(2^{\emptyset}=\left\{ \emptyset\right\} \)となる。
何故なら\(B\subseteq A\leftrightarrow B\in2^{A}\)なので\(A=\emptyset\)とすると、\(B\subseteq\emptyset\leftrightarrow B\in2^{\emptyset}\)となり、\(\emptyset\)の部分集合は\(\emptyset\)のみなので\(B=\emptyset\)とすると\(\emptyset\in2^{\emptyset}\)となり、\(\left\{ \emptyset\right\} =2^{\emptyset}\)となる。
また、
\begin{align*} 2^{2^{\emptyset}} & =2^{\left\{ \emptyset\right\} }\\ & =\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} \right\} \end{align*} \begin{align*} 2^{2^{2^{\emptyset}}} & =2^{\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} \right\} }\\ & =\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} ,\left\{ \left\{ \emptyset\right\} \right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} \right\} \right\} \end{align*} となる。

(4)

1元集合\(\left\{ a\right\} \)の冪集合は\(2^{\left\{ a\right\} }=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} \right\} \)となる。