収束する数列の部分列は同じ値に収束する
収束する数列の部分列は同じ値に収束する
(1)
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が収束するとき、その部分列\(\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)\)も同じ値に収束する。(2)
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が正(負)の無限大に発散するとき、その部分列\(\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)\)も正(負)の無限大に発散する。(1)
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が収束するのでその値を\(a\)とすると、\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \] となるので、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \] である。
部分列は\(n<\sigma\left(n\right)\)なので、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;\sigma\left(n\right)>n\geq N\Rightarrow\left|a_{\sigma\left(n\right)}-a\right|<\epsilon \] となり、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{\sigma\left(n\right)}=a \] となるので同じ値に収束する。
(2)
無限大に発散する場合無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が無限大に発散するとき、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \] となるので、
\[ \forall M>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow a_{n}>M \] である。
部分列は\(n<\sigma\left(n\right)\)なので、
\[ \forall M>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;\sigma\left(n\right)>n\geq N\Rightarrow a_{\sigma\left(n\right)}>M \] となるので部分列も無限大に発散する。
負の無限大に発散するときも同様である。
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| タイトル | 収束する数列の部分列は同じ値に収束する |
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級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a
\]
一様コーシー列・一様収束列の定義と性質
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon
\]
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]
有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分
有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分である。