符号関数の偏角・対数
符号関数の偏角・対数
\(\alpha\ne0\)とする。
\(\alpha\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\sgn\alpha=\Arg\alpha \](2)
\[ \Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha \](1)
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =-i\Log\sgn\sgn\alpha\\ & =-i\Log\sgn\alpha\\ & =\Arg\alpha \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =\Arg\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Arg\alpha \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\ln\left|\sgn\alpha\right|+i\Arg\sgn\alpha\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\Log\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Log\alpha-\ln\left|\alpha\right|\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 符号関数の偏角・対数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pjik7qf0/ |
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絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]