第2種チェビシェフ多項式の因数分解
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
(1)
\[ U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x) \](2)
\[ U_{2n}(x)=(-1)^{n}W_{n}(x)W_{n}(-x) \] \(W(x)\)は第4種チェビシェフ多項式である。(1)
\begin{align*} U_{2n-1}(x) & =\frac{\sin(2n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{2\sin(n\cos^{\bullet}x)\cos(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =2U_{n-1}(x)T_{n}(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{2n}(x) & =2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left(x-\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\ & =2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}\right)\\ & =2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\prod_{k=1}^{n}\left(x+\cos\left(\pi-\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}\right)\right)\\ & =2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\prod_{k=1}^{n}\left(x+\cos\left(\frac{2(n-k+1)\pi}{2n+1}\right)\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x+\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\\ & =(-1)^{n}2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{k\pi}{n+\frac{1}{2}}\right)2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(-x-\cos\frac{k\pi}{n+\frac{1}{2}}\right)\\ & =(-1)^{n}W_{n}(x)W_{n}(-x) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 第2種チェビシェフ多項式の因数分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/m21yfsul/ |
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第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0
\]
チェビシェフ多項式の奇遇性
\[
T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)
\]
チェビシェフの微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0
\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]