(1)

\(f\)は順序写像なので任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、\(x_{1}\preceq_{X}x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)\preceq_{Y}f\left(x_{2}\right)\)が成り立つ。
また、\(f\)は全単射であるので、任意の\(y_{1},y_{2}\in Y\)に対し、ある\(x_{1},x_{2}\in X\)が一意的に存在し、\(y_{1}=f\left(x_{1}\right),y_{2}=f\left(x_{2}\right)\)が成り立つ。
ここで、\(y_{1},y_{2}\)を\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)を満たすように選ぶと、\(X\)は全順序集合なので、\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)または\(f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\)となる。
\(f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\)とすると、\(f\)は順序写像なので\(y_{2}\preceq_{Y}y_{1}\)となるが\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)なので、\(y_{1}=_{Y}y_{2}\)となり、\(f\)は全単射なので\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)=_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)となるので\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)となる
これより、\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)の場合も\(f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\)の場合も\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)となる。
従って、\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)ならば\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)となるので、逆写像は順序写像となる。

半順序集合の場合には成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} ,Y=\left\{ 1,2,3\right\} \)として、\(X\)での順序を包含関係\(\subseteq_{X}\)、\(Y\)での順序を普通の大小関係\(\leq_{Y}\)とする\(X\)は半順序関係となる。
写像\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G=\left\{ \left(\left\{ a\right\} ,1\right),\left(\left\{ a,b\right\} ,2\right),\left(\left\{ c\right\} ,3\right)\right\} \)とすると、\(f\)は全単射であり順序写像であるが、\(1\leq_{Y}3\Rightarrow f^{\bullet}\left(1\right)\subseteq_{X}f^{\bullet}\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq_{X}\left\{ c\right\} \)は成り立たないので半順序集合の場合には逆写像が順序写像になるとは限らない。

(2)

\(f\)は順序単射なので任意の\(x_{1},x_{2}\in X\)に対し、\(x_{1}\preceq_{X}x_{2}\Leftarrow f\left(x_{1}\right)\preceq_{Y}f\left(x_{2}\right)\)が成り立つ。
また、\(f\)は全射であり、順序単射なので単射でもあるので全単射となり、任意の\(y_{1},y_{2}\in Y\)に対し、ある\(x_{1},x_{2}\in X\)が一意的に存在し、\(y_{1}=f\left(x_{1}\right),y_{2}=f\left(x_{2}\right)\)が成り立つ。
ここで、\(y_{1},y_{2}\)を\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)を満たすように選ぶと、\(Y\)は全順序集合なので、\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)または\(y_{2}\preceq_{Y}y_{2}\)となる。
\(y_{2}\preceq_{Y}y_{1}\)とすると、\(f\)は順序単射なので\(f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\)となるが\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)なので、\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)=_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)となり、\(f\)は全単射なので\(y_{1}=_{Y}y_{2}\)となるので\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)となる。
これより、\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)の場合も\(y_{2}\preceq_{Y}y_{1}\)の場合も\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)となる。
従って、\(f^{\bullet}\left(y_{1}\right)\preceq_{X}f^{\bullet}\left(y_{2}\right)\)ならば\(y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\)となるので、逆写像は順序単射となる。

半順序集合の場合には成り立たない

反例で示す。
\(X=\left\{ 1,2,3\right\} ,Y=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} \)として、\(X\)での順序を普通の大小関係\(\leq_{X}\)、\(Y\)での順序を包含関係\(\subseteq_{Y}\)とすると\(Y\)は半順序関係となる。
写像\(f:X\rightarrow Y\)のグラフを\(G=\left\{ \left(1,\left\{ a\right\} \right),\left(2,\left\{ a,b\right\} \right),\left(3,\left\{ c\right\} \right)\right\} \)とすると、\(f\)は全単射であり順序単射であるが、\(1\leq_{X}3\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(\left\{ a\right\} \right)\leq_{X}f^{\bullet}\left(\left\{ c\right\} \right)\Rightarrow\left\{ a\right\} \subseteq_{Y}\left\{ c\right\} \)は成り立たないので半順序集合の場合には逆写像が順序単射になるとは限らない。