(0)

\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)なので、任意の\(\epsilon_{a}>0\)に対し、ある\(N_{a}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{a}\leq n\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon_{a}\)となる。
同様に、\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b\)なので、任意の\(\epsilon_{b}>0\)に対し、ある\(N_{b}\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N_{b}\leq n\Rightarrow\left|b_{n}-b\right|<\epsilon_{b}\)となる。

(1)

\[ N=\max\left\{ N_{a},N_{b}\right\} \] とおくと、\(N\leq n\)のとき、\(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon_{a}\)と\(\left|b_{n}-b\right|<\epsilon_{b}\)が成り立つので、\(\epsilon_{a}+\epsilon_{b}\)=\(\epsilon\)とおくと、
\begin{align*} \left|a_{n}+b_{n}-\left(a+b\right)\right| & =\left|\left(a_{b}-a\right)+\left(b_{n}-b\right)\right|\\ & \leq\left|a_{n}-a\right|+\left|b_{n}-b\right|\\ & <\epsilon_{a}+\epsilon_{b}\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=a+b \] が成り立つ。

(2)

\[ N=\max\left\{ N_{a},N_{b}\right\} \] とおくと、\(N\leq n\)のとき、\(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon_{a}\)と\(\left|b_{n}-b\right|<\epsilon_{b}\)が成り立つ。
このとき、
\[ \left|a_{n}-a\right|<\epsilon_{a} \] より、
\[ a-\epsilon_{a}<a_{n}<a+\epsilon_{a} \] となり、
\[ \left|a_{n}\right|<\max\left\{ \left|a+\epsilon_{a}\right|,\left|a-\epsilon_{a}\right|\right\} \] となる。
これより、\(\epsilon=\max\left\{ \left|a+\epsilon_{a}\right|,\left|a-\epsilon_{a}\right|\right\} +\epsilon_{a}\left|b\right|\)とおくと、
\begin{align*} \left|a_{n}b_{n}-ab\right| & =\left|a_{n}b_{n}-a_{n}b+a_{n}b-ab\right|\\ & \leq\left|a_{n}b_{n}-a_{n}b\right|+\left|a_{n}b-ab\right|\\ & =\left|a_{n}\right|\left|b_{n}-b\right|+\left|a_{n}-a\right|\left|b\right|\\ & =\left|a_{n}\right|\epsilon_{b}+\epsilon_{a}\left|b\right|\\ & <\max\left\{ \left|a+a_{n}\right|,\left|a-a_{n}\right|\right\} +\epsilon_{a}\left|b\right|\cmt{\because\left|a_{n}\right|<\max\left\{ \left|a+\epsilon_{a}\right|,\left|a-\epsilon_{a}\right|\right\} }\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}b_{n}\right)=ab \] が成り立つ。

(3)

\[ N=\max\left\{ N_{a},N_{b}\right\} \] とおくと、\(N\leq n\)のとき、\(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon_{a}\)と\(\left|b_{n}-b\right|<\epsilon_{b}\)が成り立つ。
このとき、
\[ \left|b_{n}-b\right|<\epsilon_{b} \] より、
\[ b-\epsilon_{b}<b_{n}<b+\epsilon_{b} \] となり、
\[ \min\left\{ \left|b+\epsilon_{b}\right|,\left|b-\epsilon_{b}\right|\right\} <\left|b_{n}\right| \] となる。
これより、
\[ \epsilon=\frac{1}{\min\left\{ \left|b+\epsilon_{b}\right|,\left|b-\epsilon_{b}\right|\right\} }\left(\epsilon_{a}+\left|\frac{a}{b}\right|\epsilon_{b}\right) \] とおくと、
\begin{align*} \left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{a}{b}\right| & =\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{a}{b_{n}}+\frac{a}{b_{n}}-\frac{a}{b}\right|\\ & \leq\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{a}{b_{n}}\right|+\left|\frac{a}{b_{n}}-\frac{a}{b}\right|\\ & =\left|\frac{1}{b_{n}}\right|\left|a_{n}-a\right|+\left|a\right|\left|\frac{b-b_{n}}{b_{n}b}\right|\\ & =\left|\frac{1}{b_{n}}\right|\left|a_{n}-a\right|+\left|\frac{a}{b}\right|\left|\frac{1}{b_{n}}\right|\left|b_{n}-b\right|\\ & =\left|\frac{1}{b_{n}}\right|\left(\left|a_{n}-a\right|+\left|\frac{a}{b}\right|\left|b_{n}-b\right|\right)\\ & <\frac{1}{\min\left\{ \left|b+\epsilon_{b}\right|,\left|b-\epsilon_{b}\right|\right\} }\left(\epsilon_{a}+\left|\frac{a}{b}\right|\epsilon_{b}\right)\cmt{\because\min\left\{ \left|b+\epsilon_{b}\right|,\left|b-\epsilon_{b}\right|\right\} <\left|b_{n}\right|}\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b} \] が成り立つ。

(4)

\[ \epsilon=\left|c\right|\epsilon_{a} \] とおくと、
\begin{align*} \left|ca_{n}-ca\right| & =\left|c\right|\left|a_{n}-a\right|\\ & \leq\left|c\right|\epsilon_{a}\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}ca_{n}=ca \] が成り立つ。

(5)-0

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=a\)なので、任意の\(\epsilon_{f}>0\)に対し、ある\(\delta_{f}>0\)が存在し、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta_{f}\Rightarrow\left|f\left(x\right)-a\right|<\epsilon_{f}\)となる。
同様に、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)=b\)なので、任意の\(\epsilon_{g}>0\)に対し、ある\(\delta_{g}>0\)が存在し、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta_{g}\Rightarrow\left|g\left(x\right)-b\right|<\epsilon_{g}\)

(5)

\[ \delta=\min\left\{ \delta_{f},\delta_{g}\right\} \] とおくと、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\)のとき、\(\left|f\left(x\right)-a\right|<\epsilon_{f}\)と\(\left|g\left(x\right)-b\right|<\epsilon_{g}\)が成り立つので、\(\epsilon_{f}+\epsilon_{g}\)=\(\epsilon\)とおくと、
\begin{align*} \left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-\left(a+b\right)\right| & =\left|\left(f\left(x\right)-a\right)+\left(g\left(x\right)-b\right)\right|\\ & \leq\left|f\left(x\right)-a\right|+\left|g\left(x\right)-b\right|\\ & <\epsilon_{f}+\epsilon_{g}\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=a+b \] が成り立つ。

(6)

\[ \delta=\min\left\{ \delta_{f},\delta_{g}\right\} \] とおくと、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\)のとき、\(\left|f\left(x\right)-a\right|<\epsilon_{f}\)と\(\left|g\left(x\right)-b\right|<\epsilon_{g}\)が成り立つ。
このとき、
\[ \left|f\left(x\right)-a\right|<\epsilon_{f} \] より、
\[ a-\epsilon_{f}<f\left(x\right)<a+\epsilon_{f} \] となり、
\[ \left|f\left(x\right)\right|<\max\left\{ \left|a+\epsilon_{f}\right|,\left|a-\epsilon_{f}\right|\right\} \] となる。
これより、\(\epsilon=\max\left\{ \left|a+\epsilon_{f}\right|,\left|a-\epsilon_{f}\right|\right\} +\epsilon_{f}\left|b\right|\)とおくと、
\begin{align*} \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-ab\right| & =\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)b+f\left(x\right)b-ab\right|\\ & \leq\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)b\right|+\left|f\left(x\right)b-ab\right|\\ & =\left|f\left(x\right)\right|\left|g\left(x\right)-b\right|+\left|f\left(x\right)-a\right|\left|b\right|\\ & =\left|f\left(x\right)\right|\epsilon_{g}+\epsilon_{f}\left|b\right|\\ & <\max\left\{ \left|a+\epsilon_{f}\right|,\left|a-\epsilon_{f}\right|\right\} +\epsilon_{f}\left|b\right|\cmt{\because\left|f\left(x\right)\right|<\max\left\{ \left|a+\epsilon_{f}\right|,\left|a-\epsilon_{f}\right|\right\} }\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=ab \] が成り立つ。

(7)

\[ \delta=\min\left\{ \delta_{f},\delta_{g}\right\} \] とおくと、\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\)のとき、\(\left|f\left(x\right)-a\right|<\epsilon_{f}\)と\(\left|g\left(x\right)-b\right|<\epsilon_{g}\)が成り立つ。
このとき、
\[ \left|g\left(x\right)-b\right|<\epsilon_{g} \] より、
\[ b-\epsilon_{g}<g\left(x\right)<b+\epsilon_{g} \] となり、
\[ \min\left\{ \left|b+\epsilon_{g}\right|,\left|b-\epsilon_{g}\right|\right\} <\left|g\left(x\right)\right| \] となる。
これより、
\[ \epsilon=\frac{1}{\min\left\{ \left|b+\epsilon_{g}\right|,\left|b-\epsilon_{g}\right|\right\} }\left(\epsilon_{f}+\left|\frac{a}{b}\right|\epsilon_{g}\right) \] とおくと、
\begin{align*} \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{a}{b}\right| & =\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{a}{g\left(x\right)}+\frac{a}{g\left(x\right)}-\frac{a}{b}\right|\\ & \leq\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{a}{g\left(x\right)}\right|+\left|\frac{a}{g\left(x\right)}-\frac{a}{b}\right|\\ & =\left|\frac{1}{g\left(x\right)}\right|\left|f\left(x\right)-a\right|+\left|a\right|\left|\frac{b-g\left(x\right)}{g\left(x\right)b}\right|\\ & =\left|\frac{1}{g\left(x\right)}\right|\left|f\left(x\right)-a\right|+\left|\frac{a}{b}\right|\left|\frac{1}{g\left(x\right)}\right|\left|g\left(x\right)-b\right|\\ & =\left|\frac{1}{g\left(x\right)}\right|\left(\left|f\left(x\right)-a\right|+\left|\frac{a}{b}\right|\left|g\left(x\right)-b\right|\right)\\ & <\frac{1}{\min\left\{ \left|b+\epsilon_{g}\right|,\left|b-\epsilon_{g}\right|\right\} }\left(\epsilon_{f}+\left|\frac{a}{b}\right|\epsilon_{g}\right)\cmt{\because\min\left\{ \left|b+\epsilon_{g}\right|,\left|b-\epsilon_{g}\right|\right\} <\left|g\left(x\right)\right|}\\ & =\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{a}{b} \] が成り立つ。

(8)

\[ \epsilon=\left|c\right|\epsilon_{f} \] とおくと、
\begin{align*} \left|cf\left(x\right)-ca\right| & =\left|c\right|\left|f\left(x\right)-a\right|\\ & \leq\left|c\right|\epsilon_{f}\\ & -\epsilon \end{align*} となる。
従って、\(\epsilon\)は任意にとれるので、
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}cf\left(x\right)=ca \] が成り立つ。