部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間を次で定義する。
これを直積ノルム空間という。
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{V/A} & :=\inf_{\boldsymbol{a}\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert _{V/A} \end{align*} と定めるとノルム空間となる。
これを商ノルム空間という。
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間を次で定義する。
(1)部分ノルム空間の定義
体\(K\)上のノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert _{V}\right)\)で部分空間\(W\subseteq V\)があり、\(V\)のノルムを\(W\)に制限したノルムを\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{W}\)とすると、\(\left(W,\left\Vert \bullet\right\Vert _{\text{W}}\right)\)も体\(K\)上のノルム空間となりこれを部分ノルム空間という。(2)直積ノルム空間の定義
体\(K\)上の2つのノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert _{V}\right),\left(W,\left\Vert \bullet\right\Vert _{W}\right)\)があるとき、\(V,W\)の直積空間\(V\times W=\left\{ \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right);\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{w}\in W\right\} \)にノルムを\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert _{V}+\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert _{W}\)と定めると、ノルム空間\(\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)\)となる。これを直積ノルム空間という。
(3)商ノルム空間の定義
体\(K\)上のノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)があり、その閉部分空間\(A\subseteq V\)があるとき、商空間\(V/A\)はノルムを\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{V/A} & :=\inf_{\boldsymbol{a}\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert _{V/A} \end{align*} と定めるとノルム空間となる。
これを商ノルム空間という。
(1)部分ノルム空間
体\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間\(\mathbb{R}^{2}\)でノルムを通常ノルム(\(L^{2}\)ノルム)\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)にとると、\(\left(\mathbb{R}^{2},\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)はノルム空間となる。このとき、\(W=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} \subseteq\mathbb{R}^{2}\)は\(\mathbb{R}^{2}\)の部分空間であるので、\(\mathbb{R}^{2}\)のノルムを\(W\)に制限したノルムを\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{W}\)とすると\(\left(W,\left\Vert \bullet\right\Vert _{\text{W}}\right)\)は部分ノルム空間となる。
(2)直積ノルム空間
2つのノルム空間\(\left(\mathbb{R}_{1},\left\Vert x\right\Vert _{1}\right),\left(\mathbb{R}_{2},\left\Vert y\right\Vert _{2}\right)\)があり、\(\left\Vert x\right\Vert _{1},\left\Vert y\right\Vert _{2}\)は\(L^{1}\)ノルム、すなわち、\(\left\Vert x\right\Vert _{1}=\left|x\right|,\left\Vert y\right\Vert _{2}=\left|y\right|\)とする。このとき、\(\mathbb{R}_{1},\mathbb{R}_{2}\)の直積空間\(\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}_{1}\times\mathbb{R}_{2}=\left\{ \left(x,y\right);x\in\mathbb{R}_{1},y\in\mathbb{R}_{2}\right\} \)にノルムを\(\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert _{\mathbb{R}^{2}}=\left\Vert x\right\Vert _{1}+\left\Vert y\right\Vert _{2}=\left|x\right|+\left|y\right|\)と定めると、ノルム空間\(\left(\mathbb{R}^{2},\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert _{\mathbb{R}^{2}}=\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)となる。
(3)商ノルム空間
ノルム空間\(\left(\mathbb{R}^{2},\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert _{2}\right)\)があり、\(\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert _{2}\)は\(L^{2}\)ノルムすなわち、\(\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert _{2}=\sqrt{\left|x\right|^{2}+\left|y\right|^{2}}\)とする。このとき、\(A=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} \subseteq\mathbb{R}^{2}\)とすると\(A\)は閉部分空間となり、商空間\(B=\mathbb{R}^{2}/A=\left\{ C_{A}\left(x,y\right);\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}\right\} =\left\{ \left(x,y\right)+A;\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}\right\} \)はノルムを
\begin{align*} \left\Vert C_{A}\left(x,y\right)\right\Vert _{B} & =\left\Vert \left(x,y\right)-A\right\Vert _{B}\\ & =\inf_{\left(x',0\right)\in A}\left\Vert \left(x,y\right)-\left(x',0\right)\right\Vert _{2}\\ & =\inf_{x'\in\mathbb{R}}\left\Vert \left(x-x',y\right)\right\Vert _{2}\\ & =\inf_{x'\in\mathbb{R}}\sqrt{\left|x-x'\right|^{2}+\left|y\right|^{2}}\\ & =\sqrt{\left|0\right|^{2}+\left|y\right|^{2}}\\ & =\left|y\right| \end{align*} とするとノルム空間となる。
(1)
部分ノルム空間\(\left(W,\left\Vert \bullet\right\Vert _{\text{W}}\right)\)がノルム空間になることの証明\(W\)はベクトル空間の部分空間なのでベクトル空間となる。
また、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{W}\)は\(V\)のノルムを\(W\)に制限したノルムなので、明らかに独立性・斉次性・劣加法性を満たしノルムとなる。
これより、\(\left(W,\left\Vert \bullet\right\Vert _{\text{W}}\right)\)は体\(K\)上のノルム空間となるので題意は成り立つ。
(2)
直積ノルム空間\(\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)\)がノルム空間になることの証明ベクトル空間
\(V\times W\)はベクトル空間\(V,W\)同士の直積なのでベクトル空間となる。独立性
\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=0\)のとき、\(0=\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert _{V}+\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert _{W}\)より、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}\)となるので、\(\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\)となり、\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=0\Rightarrow\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\)となる。また、\(\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\)のとき、\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=\left\Vert \left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\right\Vert _{V\times W}=\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert _{V}+\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert _{W}=0+0=0\)となるので、\(\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\Rightarrow\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=0\)となる。
これより、\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=0\Rightarrow\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\)と\(\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\Rightarrow\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=0\)が成り立つので、\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=0\Leftrightarrow\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right)\)となり独立性を満たす。
斉次性
任意の\(\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{w}\in W,c\in K\)に対し、\(\left\Vert c\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=\left\Vert \left(c\boldsymbol{v},c\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}=\left\Vert c\boldsymbol{v}\right\Vert _{V}+\left\Vert c\boldsymbol{w}\right\Vert _{W}=\left|c\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert _{V}+\left|c\right|\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert _{W}=\left|c\right|\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\)となるので斉次性を満たす。劣加法性
任意の\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in V;\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2}\in W\)に対し、\begin{align*} \left\Vert \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)\right\Vert _{V\times W} & =\left\Vert \left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right)\right\Vert _{V\times W}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right\Vert _{V}+\left\Vert \boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right\Vert _{W}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{v}_{1}\right\Vert _{V}+\left\Vert \boldsymbol{v}_{2}\right\Vert _{V}+\left\Vert \boldsymbol{w}_{1}\right\Vert _{W}+\left\Vert \boldsymbol{w}_{2}\right\Vert _{W}\\ & =\left\Vert \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)\right\Vert _{V\times W}+\left\Vert \left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{w}_{2}\right)\right\Vert _{V\times W} \end{align*} となるので、劣加法性を満たす。
-
これらより、直積空間\(V\times W\)はベクトル空間であり、ノルム\(\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\)は独立性・斉次性・劣加法性を満たすので\(\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)\)はノルム空間となる。(3)
well-definednessの証明
代表元のとり方によらないことを示す。\(\boldsymbol{x}+A=\boldsymbol{x}'+A\)とすると\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\in A\)であるので、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{V/A} & =\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}+a\right\Vert _{V}\\ & =\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}+\left(a+\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\right)\right\Vert _{V}\\ & =\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}'+a\right\Vert _{V}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}'+A\right\Vert _{V/A} \end{align*} となるので代表元のとり方によらない。
-
商ノルム空間がノルム空間になることの証明ベクトル空間
ベクトル空間の商空間はベクトル空間であるので、\(V/A\)はベクトル空間となる。独立性
\(A\)が閉部分空間のとき、\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{V/A}=0 & \Leftrightarrow\inf_{\boldsymbol{a}\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert _{V}=0\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\boldsymbol{a}\in A,\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert _{V}<\epsilon\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{x}\in A^{a}\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{x}\in A\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{x}+A=\boldsymbol{0}+A \end{align*} となり、\(\boldsymbol{0}+A\)は商空間\(V/A\)の加法単位元なので独立性を満たす。
斉次性
\(c\in K\)とすると、\(\left\Vert c\left(\boldsymbol{x}+A\right)\right\Vert _{V/A}=\left\Vert \left(c\boldsymbol{x}+A\right)\right\Vert _{V/A}=\inf_{a\in A}\left\Vert c\boldsymbol{x}-a\right\Vert _{V}=\left|c\right|\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-c^{-1}a\right\Vert _{V}=\left|c\right|\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-a\right\Vert _{V}=\left|c\right|\left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{V/A}\)となり斉次性を満たす。劣加法性
\begin{align*} \left\Vert \left(\boldsymbol{x}+A\right)+\left(\boldsymbol{y}+A\right)\right\Vert _{V/A} & =\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+A\right\Vert _{V/A}\\ & =\inf_{\boldsymbol{a}\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}-\boldsymbol{a}\right\Vert _{V}\\ & =\inf_{\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2}\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{1}+\boldsymbol{y}-\boldsymbol{a}_{2}\right\Vert _{V}\\ & \leq\inf_{\boldsymbol{a}_{1}\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{1}\right\Vert _{V}+\inf_{\boldsymbol{a}_{2}\in A}\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{a}_{2}\right\Vert _{V}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{B}+\left\Vert \boldsymbol{y}+A\right\Vert _{B} \end{align*} となるので劣加法性を満たす。-
これらより、商空間\(V/A\)はベクトル空間であり、ノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{B}\)は独立性・斉次性・劣加法性を満たすので商空間\(V/A\)にノルムを\(\left\Vert \boldsymbol{x}+A\right\Vert _{V/A}\)と定めるとノルム空間となる。
ページ情報
| タイトル | 部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/e4nibxn4/ |
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有限次元空間のノルムは全て同値
ノルムの同値性の定義と性質
\[
c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}
\]
ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\]
ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon
\]