リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)の解析接続による非負整数値は次のようになる。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1} \]
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)の解析接続による非負整数値は次のようになる。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1} \]
-
\(B_{n}\)はベルヌーイ数リーマン・ゼータ関数の非負整数値一覧
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \zeta\left(n\right)\\ \hline 0 & -\frac{1}{2}\\ \hline -1 & -\frac{1}{12}\\ \hline -2 & 0\\ \hline -3 & \frac{1}{120}\\ \hline -4 & 0\\ \hline -5 & -\frac{1}{252}\\ \hline -6 & 0\\ \hline -7 & \frac{1}{240}\\ \hline -8 & 0\\ \hline -9 & -\frac{1}{132}\\ \hline -10 & 0\\ \hline -11 & \frac{691}{32,760}\\ \hline -12 & 0\\ \hline -13 & -\frac{1}{12}\\ \hline -14 & 0\\ \hline -15 & \frac{3,617}{8,160}\\ \hline -16 & 0\\ \hline -17 & -\frac{43,867}{14,364}\\ \hline -18 & 0\\ \hline -19 & \frac{174,611}{6,600}\\ \hline -20 & 0\\ \hline -21 & -\frac{77,683}{276}\\ \hline -22 & 0\\ \hline -23 & \frac{236,364,091}{65,520}\\ \hline -24 & 0\\ \hline -25 & -\frac{657,931}{12}\\ \hline -26 & 0\\ \hline -27 & \frac{3,392,780,147}{3,480}\\ \hline -28 & 0\\ \hline -29 & -\frac{1,723,168,255,201}{85,932}\\ \hline -30 & 0\\ \hline -31 & \frac{7,709,321,041,217}{16,320}\\ \hline -32 & 0\\ \hline -33 & -\frac{151,628,697,551}{12}\\ \hline -34 & 0\\ \hline -35 & \frac{26,315,271,553,053,477,373}{69,090,840}\\ \hline -36 & 0\\ \hline -37 & -\frac{154,210,205,991,661}{12}\\ \hline -38 & 0\\ \hline -39 & \frac{261,082,718,496,449,122,051}{541,200}\\ \hline -40 & 0\\ \hline -41 & -\frac{1,520,097,643,918,070,802,691}{75,852}\\ \hline -42 & 0\\ \hline -43 & \frac{2,530,297,234,481,911,294,093}{2,760}\\ \hline -44 & 0\\ \hline -45 & -\frac{25,932,657,025,822,267,968,607}{564}\\ \hline -46 & 0\\ \hline -47 & \frac{5,609,403,368,997,817,686,249,127,547}{2,227,680}\\ \hline -48 & 0\\ \hline -49 & -\frac{19,802,288,209,643,185,928,499,101}{132}\\ \hline -50 & 0 \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \zeta\left(n\right)\\ \hline 0 & -\frac{1}{2}\\ \hline -1 & -\frac{1}{12}\\ \hline -2 & 0\\ \hline -3 & \frac{1}{120}\\ \hline -4 & 0\\ \hline -5 & -\frac{1}{252}\\ \hline -6 & 0\\ \hline -7 & \frac{1}{240}\\ \hline -8 & 0\\ \hline -9 & -\frac{1}{132}\\ \hline -10 & 0\\ \hline -11 & \frac{691}{32,760}\\ \hline -12 & 0\\ \hline -13 & -\frac{1}{12}\\ \hline -14 & 0\\ \hline -15 & \frac{3,617}{8,160}\\ \hline -16 & 0\\ \hline -17 & -\frac{43,867}{14,364}\\ \hline -18 & 0\\ \hline -19 & \frac{174,611}{6,600}\\ \hline -20 & 0\\ \hline -21 & -\frac{77,683}{276}\\ \hline -22 & 0\\ \hline -23 & \frac{236,364,091}{65,520}\\ \hline -24 & 0\\ \hline -25 & -\frac{657,931}{12}\\ \hline -26 & 0\\ \hline -27 & \frac{3,392,780,147}{3,480}\\ \hline -28 & 0\\ \hline -29 & -\frac{1,723,168,255,201}{85,932}\\ \hline -30 & 0\\ \hline -31 & \frac{7,709,321,041,217}{16,320}\\ \hline -32 & 0\\ \hline -33 & -\frac{151,628,697,551}{12}\\ \hline -34 & 0\\ \hline -35 & \frac{26,315,271,553,053,477,373}{69,090,840}\\ \hline -36 & 0\\ \hline -37 & -\frac{154,210,205,991,661}{12}\\ \hline -38 & 0\\ \hline -39 & \frac{261,082,718,496,449,122,051}{541,200}\\ \hline -40 & 0\\ \hline -41 & -\frac{1,520,097,643,918,070,802,691}{75,852}\\ \hline -42 & 0\\ \hline -43 & \frac{2,530,297,234,481,911,294,093}{2,760}\\ \hline -44 & 0\\ \hline -45 & -\frac{25,932,657,025,822,267,968,607}{564}\\ \hline -46 & 0\\ \hline -47 & \frac{5,609,403,368,997,817,686,249,127,547}{2,227,680}\\ \hline -48 & 0\\ \hline -49 & -\frac{19,802,288,209,643,185,928,499,101}{132}\\ \hline -50 & 0 \\\hline \end{array} \]
(1)
\begin{align*} \zeta\left(0\right) & =B_{1}\\ & =-\frac{1}{2} \end{align*}(2)
\begin{align*} \zeta\left(-1\right) & =-\frac{B_{2}}{2}\\ & =-\frac{1}{12} \end{align*}(3)
\begin{align*} \zeta\left(-2\right) & =\frac{B_{3}}{3}\\ & =0 \end{align*}(4)
\begin{align*} \zeta\left(-3\right) & =-\frac{B_{4}}{4}\\ & =\frac{1}{120} \end{align*}リーマン・ゼータ関数のハンケル経路積分表示は
\begin{align*} \zeta\left(s\right) & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\oint_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}}{e^{z}-1}dz \end{align*} である。
ここで、経路\(C_{1}\)は\(\theta=0\)上で\(x\)軸上を\(x:R\rightarrow\epsilon\)として、経路\(C_{2}\)は\(\epsilon e^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow2\pi\)として、経路\(C_{3}\)は\(\theta=2\pi\)上で\(x\)軸上を\(x:\epsilon\rightarrow R\)とする。
経路\(C\)は\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)として、\(R\rightarrow\infty,\epsilon\rightarrow0^{+}\)とする。
また、\(-s=n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\begin{align*} \zeta\left(-n\right) & =-\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\oint_{C}\frac{\left(-z\right)^{-n-1}}{e^{z}-1}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}z^{-n-2}\frac{z}{e^{z}-1}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}z^{-n-2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}z^{k}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}\oint_{C}z^{k-n-2}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}2\pi i\Res\left(z^{k-n-2},0\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}2\pi i\delta_{k,n+1}\\ & =\left(-1\right)^{n}n!\frac{B_{n+1}}{\left(n+1\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1} \end{align*} これより与式は成り立つ。
\begin{align*} \zeta\left(s\right) & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\oint_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}}{e^{z}-1}dz \end{align*} である。
ここで、経路\(C_{1}\)は\(\theta=0\)上で\(x\)軸上を\(x:R\rightarrow\epsilon\)として、経路\(C_{2}\)は\(\epsilon e^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow2\pi\)として、経路\(C_{3}\)は\(\theta=2\pi\)上で\(x\)軸上を\(x:\epsilon\rightarrow R\)とする。
経路\(C\)は\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)として、\(R\rightarrow\infty,\epsilon\rightarrow0^{+}\)とする。
また、\(-s=n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\begin{align*} \zeta\left(-n\right) & =-\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\oint_{C}\frac{\left(-z\right)^{-n-1}}{e^{z}-1}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}z^{-n-2}\frac{z}{e^{z}-1}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}z^{-n-2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}z^{k}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}\oint_{C}z^{k-n-2}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}2\pi i\Res\left(z^{k-n-2},0\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{n!}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}2\pi i\delta_{k,n+1}\\ & =\left(-1\right)^{n}n!\frac{B_{n+1}}{\left(n+1\right)!}\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1} \end{align*} これより与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yzk0852t/ |
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リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数$\zeta\left(s\right)$は$\Re\left(s\right)>1$で絶対収束
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]