連続関数の和・積・商
連続関数の和・積・商
関数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)が\(x=x_{0}\)で連続であるとき次が成り立つ。
関数\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)が\(x=x_{0}\)で連続であるとき次が成り立つ。
(1)和
\(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(2)積
\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(3)商
\(g\left(x_{0}\right)\ne0\)ならば、\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(1)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)+\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)\\ & =f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right) \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(2)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) & =\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)\right)\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)\right)\\ & =f\left(x_{0}\right)g\left(x_{0}\right) \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。(3)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right) & =\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left(x\right)}\\ & =\frac{f\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)} \end{align*} となるので、\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)は\(x=x_{0}\)で連続となる。
ページ情報
| タイトル | 連続関数の和・積・商 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yy7g8h39/ |
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数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]