ヘヴィサイドの階段関数の極限表示

by nomura · 2021年5月8日

ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
\(x\in\mathbb{R}\)とする。

(1)

\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}} \end{align*}

(2)

\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\erf\left(kx\right)\right) \]

(3)

\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{\bullet}\left(kx\right)\right) \]

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\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数。

(1)

\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{e^{kx}-e^{-kx}}{e^{kx}+e^{-kx}}\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{e^{kx}}{e^{kx}+e^{-kx}}\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{1+e^{-2kx}}\right)\\ & =\begin{cases} 0 & x<0\\ \frac{1}{2} & x=0\\ 1 & 0<x \end{cases}\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\erf\left(kx\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{kx}e^{-x^{2}}dx\right)\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\sgn\left(x\right)\right)\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{\bullet}\left(kx\right)\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sgn\left(x\right)\right)\\ & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) \end{align*}