完備距離空間の部分集合は完備とは限らない

by nomura · 2023年6月14日

完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。

反例で示す。

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$\mathbb{R}$は完備であるがその部分集合$\left(0,1\right)$は完備ではない。
何故なら実数列$\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$\left(0,1\right)$に含まれるが、その収束先の0は$\left(0,1\right)$に含まれないからである。

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$\mathbb{R}$は完備であるがその部分集合$\mathbb{Q}$は完備ではない。
何故なら$x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41$と$x_{n}$を$\sqrt{2}$の小数第$n$位までの実数とすると、$x_{n}\in\mathbb{Q}$であるが$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$である。