(1)

well-defined

線形写像\(\widetilde{f}:V/\ker f\rightarrow\im f,\boldsymbol{x}+\ker f\mapsto\widetilde{f}\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)\)が代表元の取り方に依らないことを示す。
\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in\ker f\)のとき、\(\boldsymbol{x}\sim\boldsymbol{y}\)すなわち\(\boldsymbol{x}+\ker f=\boldsymbol{y}+\ker f\)とする。
\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{z}\)とおくと、\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in\ker f\)なので
\begin{align*} \widetilde{f}\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right) & =f\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{y}\right)+f\left(\boldsymbol{z}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\widetilde{f}\left(\boldsymbol{y}+\ker f\right) \end{align*} となる。
これより、\(\widetilde{f}\)は代表元の取り方に依らないので、線形写像\(\widetilde{f}:V/\ker f\rightarrow W,\boldsymbol{x}+\ker f\mapsto\widetilde{f}\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)\)を定義できる。

線形写像

次に\(\widetilde{f}\)が線形写像であることを示す。
任意の\(\boldsymbol{x}+\ker f,\boldsymbol{y}+\ker f\in V/\ker f\)と任意の\(c\in K\)に対し、
\begin{align*} \widetilde{f}\left(\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right)+\left(\boldsymbol{y}+\ker f\right)\right) & =\widetilde{f}\left(\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+\ker f\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\widetilde{f}\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right)+\widetilde{f}\left(\boldsymbol{y}+\ker f\right) \end{align*} となるので、加法性を満たす、
また、
\begin{align*} \widetilde{f}\left(c\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right)\right) & =\widetilde{f}\left(c\boldsymbol{x}+\ker f\right)\\ & =f\left(c\boldsymbol{x}\right)\\ & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =c\widetilde{f}\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right) \end{align*} となるので、斉1次性を満たす。
これより、\(\widetilde{f}\)は加法性・斉1次性を満たすので線形写像となる。

全単射

\(\widetilde{f}\)が全単射であることを示す。
まずは\(\widetilde{f}\)が単射であることを示す。
\(\widetilde{f}\)は線形写像であるので、単射であることと、\(\ker\widetilde{f}=\left\{ \ker f\right\} \)となることは同値である。
これより、\(\widetilde{f}\)が単射であることを示すには、\(\ker\widetilde{f}=\left\{ \ker f\right\} \)となることを示せばいい。
任意の\(\boldsymbol{x}+\ker f\in\ker\widetilde{f}\)について、\(\boldsymbol{0}=\widetilde{f}\)\(\left(\boldsymbol{x}+\ker f\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)\)となり、\(\boldsymbol{x}\in\ker f\)となるので\(\boldsymbol{x}+\ker f=\ker f\in\left\{ \ker f\right\} \)となり、\(\ker\widetilde{f}\subseteq\left\{ \ker f\right\} \)となる。
また、\(\ker f\in\left\{ \ker f\right\} \)は\(\widetilde{f}\left(\ker f\right)=\widetilde{f}\left(\boldsymbol{0}+\ker f\right)=f\left(\boldsymbol{0}\right)=\boldsymbol{0}\)となるので、\(\ker f\in\ker\widetilde{f}\)となるので、\(\left\{ \ker f\right\} \subseteq\ker\widetilde{f}\)となる。
従って、\(\ker\widetilde{f}\subseteq\left\{ \ker f\right\} \land\left\{ \ker f\right\} \subseteq\ker\widetilde{f}\)が成り立つので\(\ker\widetilde{f}=\left\{ \ker f\right\} \)となり\(\widetilde{f}\)は単射となる。
次に\(\widetilde{f}\)が全射であることを示す。
写像\(f:V\rightarrow\im f\)で、任意の\(\boldsymbol{x}\in\im f\)に対し、ある\(\boldsymbol{v}\in V\)が存在し\(f\left(\boldsymbol{v}\right)=\boldsymbol{x}\)が成り立つ。
このとき、\(\widetilde{f}\left(\boldsymbol{v}+\ker f\right)=f\left(\boldsymbol{v}\right)=\boldsymbol{x}\)となるので\(\widetilde{f}\)は全射となる。
これらより、\(\widetilde{f}\)は単射かつ全射となるので全単射となる。

-

故に写像\(\widetilde{f}:V/\ker f\rightarrow\im f,\boldsymbol{x}\mapsto\widetilde{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\)は線形写像かつ全単射となり線形同型写像となるので、\(V/\ker f\simeq\im f\)となり題意は成り立つ。

(2)

写像\(f:W_{1}\rightarrow\left(W_{1}+W_{2}\right)/W_{2},x\mapsto x+W_{2}\)を考える。
\(f\)の核は
\begin{align*} \ker f & =\left\{ x\in W_{1};f\left(x\right)=W_{2}\right\} \\ & =\left\{ x\in W_{1};x+W_{2}=W_{2}\right\} \\ & =\left\{ x\in W_{1};x\in W_{2}\right\} \\ & =W_{1}\cap W_{2} \end{align*} となる。
\(f\)の像は
\begin{align*} \im f & =\left\{ f\left(x\right)\in\left(W_{1}+W_{2}\right)/W_{2};x\in W_{1}\right\} \\ & =\left\{ x+W_{2}\in\left(W_{1}+W_{2}\right)/W_{2};x\in W_{1}\right\} \\ & =\left\{ x\in W_{1};x\in W_{1}\right\} +W_{2}/W_{2}\\ & =W_{1}+W_{2}/W_{2}\\ & =\left(W_{1}+W_{2}\right)/W_{2} \end{align*} となる。
従って、準同型定理より、\(W_{1}/W_{1}\cap W_{2}=W_{1}/\ker f\simeq\im f=\left(W_{1}+W_{2}\right)/W_{2}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(3)

写像\(f:V/W_{1}\rightarrow V/W_{2},x+W_{1}\mapsto x+W_{2}\)を考える。
well-definedを示す。
任意の\(x'\in x+W_{1}\)について、ある\(w_{1}\in W_{1}\)が存在し、\(-x+x'=w_{1}\)となるので、\(f\left(x'+W_{1}\right)=x'+W_{1}=x+w_{1}+W_{1}=x+W_{1}=f\left(x+W_{1}\right)\)となり代表元のとり方によらないのでwell-definedである。
\(f\)の核は
\begin{align*} \ker f & =\left\{ x+W_{1}\in V/W_{1};f\left(x+W_{1}\right)=W_{2}\right\} \\ & =\left\{ x+W_{1}\in V/W_{1};x+W_{2}=W_{2}\right\} \\ & =\left\{ x+W_{1}\in V/W_{1};x\in W_{2}\right\} \\ & =\left\{ x\in V;x\in W_{2}\right\} +W_{1}/W_{1}\\ & =W_{2}+W_{1}/W_{1}\\ & =W_{2}/W_{1}\cmt{\because W_{1}\subseteq W_{2}} \end{align*} となる。
\(f\)の像は
\begin{align*} \im f & =\left\{ f\left(x\right);x+W_{1}\in V/W_{1}\right\} \\ & =\left\{ x+W_{2};x\in V\right\} \\ & =\left\{ x;x\in V\right\} +W_{2}/W_{2}\\ & =V+W_{2}/W_{2}\\ & =V/W_{2}\cmt{\because W_{2}\subseteq V} \end{align*} となる。
従って、準同型定理より、\(\left(V/W_{1}\right)/\left(W_{2}/W_{1}\right)=\left(V/W_{1}\right)/\ker f\simeq\im f=V/W_{2}\)となる。
故に題意は成り立つ。