関数の極限の定義

(1)

関数\(f\left(x\right)\)が、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。

(2)

関数\(f\left(x\right)\)が
\[ \forall K>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\pm K\leq\pm f\left(x\right) \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\pm\infty \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f\left(x\right)\)は正(負)の無限大に発散する」という。

(3)

関数\(f\left(x\right)\)が
\[ \forall\epsilon>0,\exists M>0;\forall x\in\mathbb{R},\pm M\leq\pm x\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が限りなく大きく(小さく)なるとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。

(4)

関数\(f\left(x\right)\)が
\[ \forall K>0,\exists M>0;\forall x\in\mathbb{R},\pm_{1}M\leq\pm_{1}x\Rightarrow\pm_{2}K\leq\pm_{2}f\left(x\right) \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\pm_{1}\infty}f\left(x\right)=\pm_{2}\infty \] で表し、「\(x\)が限りなく大きく(小さく)なるとき\(f\left(x\right)\)は正(負)の無限大に発散する」という。