冪集合の定義

by nomura · 2023年8月5日

冪集合の定義
ある集合$A$の部分集合全体の集合族を冪集合といい$2^{A}$で表す。

(1)

$A\in2^{A}$は成り立つが、一般に$A\nsubseteq2^{A}$であるので注意。
また$\emptyset\in2^{A}$と$\emptyset\subseteq2^{A}$はどちらも成り立つ。

(2)

$A=\left\{ a,b\right\} $のとき$2^{A}=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $なので$A\in2^{A}$は成り立つが、$A\subseteq2^{A}$は成り立たないので$A\nsubseteq2^{A}$となる。
また冪集合は必ず空集合を含むので$\emptyset\in2^{A}$が成り立ち、空集合は任意の集合の部分集合であるので、$\emptyset\subseteq2^{A}$が成り立つ。

(3)

空集合の冪集合は$2^{\emptyset}=\left\{ \emptyset\right\} $となる。
何故なら$B\subseteq A\leftrightarrow B\in2^{A}$なので$A=\emptyset$とすると、$B\subseteq\emptyset\leftrightarrow B\in2^{\emptyset}$となり、$\emptyset$の部分集合は$\emptyset$のみなので$B=\emptyset$とすると$\emptyset\in2^{\emptyset}$となり、$\left\{ \emptyset\right\} =2^{\emptyset}$となる。
また、
\begin{align*} 2^{2^{\emptyset}} & =2^{\left\{ \emptyset\right\} }\\ & =\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} \right\} \end{align*} \begin{align*} 2^{2^{2^{\emptyset}}} & =2^{\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} \right\} }\\ & =\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} ,\left\{ \left\{ \emptyset\right\} \right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\} \right\} \right\} \end{align*} となる。