円周率

円の周長を\(L\)、直径を\(d\)としたとき円周率\(\pi\)を
\[ \pi=\frac{L}{d} \]
で定義する。

\[ \pi=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \]
が成り立つ。

円周率の定義より、半径\(r\)の円を考えると、
\begin{align*} \pi & =\frac{2}{2r}\int_{-r}^{r}\sqrt{\left(\frac{d}{dx}x\right)^{2}+\left(\frac{d}{dx}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}}dx\\ & =\frac{1}{r}\int_{-r}^{r}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx\\ & =\frac{2}{r}\int_{0}^{r}\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}dx\\ & =2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt\qquad\text{(x=rtとおいた)} \end{align*}
となる。これより与式は成り立つ。

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円周率

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