円周率
円の周長を\(L\)、直径を\(d\)としたとき円周率\(\pi\)を
\[
\pi=\frac{L}{d}
\]
で定義する。
\[
\pi=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx
\]
が成り立つ。
円周率の定義より、半径\(r\)の円を考えると、
\begin{align*}
\pi & =\frac{2}{2r}\int_{-r}^{r}\sqrt{\left(\frac{d}{dx}x\right)^{2}+\left(\frac{d}{dx}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}}dx\\
& =\frac{1}{r}\int_{-r}^{r}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx\\
& =\frac{2}{r}\int_{0}^{r}\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}dx\\
& =2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt\qquad\text{(x=rtとおいた)}
\end{align*}
となる。これより与式は成り立つ。
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タイトル | 円周率 |
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関数の極限
階乗と冪乗の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0
\]
中央2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}
\]