(1)

\(n=\dim V\)とおく。
\(V\)の基底を\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)とおくと、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)は\(\boldsymbol{v}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\)で表される。
ここで、写像\(f:V\rightarrow K^{n}\)を\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\)とすると\(f\)が線形同型写像であることを示す。
まず\(f\)が全単射であることを示す。
任意の\(\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\in K^{n}\)について、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\in V\)とおくと、\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\)となるので\(f\)は全射となる。
また、\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{0}_{K^{n}}=\left(0,0,\cdots,0\right)^{T}\)として、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\in V\)とおくと\(\left(0,0,\cdots,0\right)^{T}=f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\)となるので、\(x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0\)となり、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\sum_{k=1}^{n}0\boldsymbol{v}_{k}=0_{V}\)となる。
これより、\(\ker f=\left\{ 0_{V}\right\} \)となるので\(f\)は単射となる。
従って、\(f\)は全単射である。
次に\(f\)が線形写像であることを示す。
任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,c\in K\)について、ある\(\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(y_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができ、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}+\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\cdots,x_{n}+y_{n}\right)^{T}\\ & =\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}+\left(y_{1},y_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)+f\left(\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*} \begin{align*} f\left(c\boldsymbol{x}\right) & =f\left(c\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{n}cx_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\left(cx_{1},cx_{2},\cdots,cx_{n}\right)^{T}\\ & =c\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\\ & =cf\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =cf\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(f\)は加法性・斉1次性を満たすので線形写像になる。
従って、\(f\)は線形同型写像になり\(V\simeq K^{n}=K^{\dim V}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

\(V\simeq W\Rightarrow\dim V=\dim W\)

\(V\simeq W\)なのである線形同型写像\(f:V\rightarrow W\)が存在し、\(f\)は単射なので\(\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)で全射なので、\(\dim\im f=\dim W\)となる。
これより、次元定理
\begin{align*} \dim V & =\dim\ker f+\dim\im f\\ & =\dim\left\{ \boldsymbol{0}\right\} +\dim W\\ & =\dim W \end{align*} となるので題意は成り立つ。

\(\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W\)

(1)より、\(\dim V=\dim W<\infty\)ならば\(V\simeq K^{\dim V}=K^{\dim W}\simeq W\)となるので、\(V\simeq W\)となる。
従って題意は成り立つ。

別証明

直接求める。
\(V\)の基底を\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)として、\(W\)の基底を\(\left\{ \boldsymbol{w}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)とする。
写像を\(f:V\rightarrow W;\sum_{k=1}^{n}k_{k}\boldsymbol{v}_{k}\mapsto\sum_{k=1}^{n}k_{k}\boldsymbol{u}_{k}\)とすれば全単射かつ線形写像になるので線形同型写像になり、\(V\simeq W\)となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

\(\dim V<\infty\)とする。

\(\dim W=0\)のとき

\(\dim W=\dim\left\{ \boldsymbol{0}\right\} =0\)となり、\(V/W=V/\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)は相等関係になるので\(V/W=V/\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \simeq V\)となり、\(\dim\left(V/W\right)=\dim V\)となるので、与式は成り立つ。

\(\dim W=\dim V\)のとき、

\(V/W=V/V\)は自明な同値関係となり、\(V/W=V/V=\boldsymbol{0}+V\)なので\(\dim V/W=0\)となり、与式の右辺も\(\dim V-\dim W=\dim V-\dim V=0\)となるので与式は成り立つ。

\(0<\dim W<\dim V\)のとき

\(\dim W=m,\dim V=n\)とおく。
\(W\)の基底を\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\)として、\(V\)の基底を\(W\)の基底に\(\left\{ v_{k}\right\} _{k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} }\)を加えた\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)になるようにとる。
ここで\(\left\{ c_{k}\right\} _{k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)として、
\[ \sum_{k=m+1}^{n}c_{k}\left(\boldsymbol{v}_{k}+W\right)=\boldsymbol{0}+W \] となる\(\left\{ c_{k}\right\} _{k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} }\)を求める。
\begin{align*} \boldsymbol{0}+W & =\sum_{k=m+1}^{n}c_{k}\left(\boldsymbol{v}_{k}+W\right)\\ & =\sum_{k=m+1}^{n}\left(c_{k}\boldsymbol{v}_{k}+W\right) \end{align*} となるので、
\[ \sum_{k=m+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\in W \] となる。
また、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\)は\(W\)の基底なので、ある\(\left\{ c_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\[ \sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\sum_{k=m+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] となる。
移項すると、
\[ \sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}-\sum_{k=m+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0} \] となるが、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V\)の基底なので\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\)となる。
これより、\(c_{m+1}=c_{m+2}=\cdots=c_{n}=0\)でもあるので、\(\left\{ v_{k}\right\} _{k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} }\)は1次独立となる。
次に任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、\(\boldsymbol{x}+W\in V/W\)である。
このとき、\(V\)の基底は\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)であるので、ある\(\left\{ d_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\[ \boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] となる。
移項すると、
\begin{align*} \boldsymbol{x}-\sum_{k=m+1}^{n}d_{k}\boldsymbol{v}_{k} & =\sum_{k=1}^{m}d_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & \in W \end{align*} となるので、\(x\sim\sum_{k=m+1}^{n}d_{k}\boldsymbol{v}_{k}\)となり、
\begin{align*} \boldsymbol{x}+W & =\sum_{k=m+1}^{n}d_{k}\boldsymbol{v}_{k}+W\\ & =\sum_{k=m+1}^{n}d_{k}\left(\boldsymbol{v}_{k}+W\right) \end{align*} となる。
これより、\(V/W\)の基底は\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}+W\right\} _{k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} }\)になっている。
これらより、\(V\)の基底は\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)、\(W\)の基底は\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\)、\(V/W\)の基底は\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}+W\right\} _{k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} }\)となる。
従って、\(\dim V=n,\dim W=m,\dim V/W=n-m\)となるので、
\begin{align*} \dim V/W & =n-m\\ & =\dim V-\dim W \end{align*} が成り立つ。

-

これらより、\(\dim W=0\lor\dim W=\dim V\lor0<\dim W<\dim V\Leftrightarrow0\leq\dim W\leq\dim V\)のとき、与式が成り立っている。
また、\(W\subseteq V\)なので\(\dim V<\dim W\)となることはない。
従って題意は成り立つ。