ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
(1)ガンマ関数
\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\qquad\Re(z)>0 \](2)ディガンマ関数
\[ \psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z) \](3)ポリガンマ関数
\[ \psi^{(n)}(z)=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi(z)=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z) \]
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/u3m5jiu0/ |
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ディガンマ関数の積分表示
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[
\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!
\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[
\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]