ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
(1)ガンマ関数
\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\qquad\Re(z)>0 \](2)ディガンマ関数
\[ \psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z) \](3)ポリガンマ関数
\[ \psi^{(n)}(z)=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi(z)=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z) \]
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/u3m5jiu0/ |
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ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[
\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]