ガンマ関数と階乗の関係

by nomura · 2020年6月25日

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、以下が成り立つ。
\[ \Gamma(n+1)=n! \]

\begin{align*} \Gamma(n+1) & =\Gamma(1)\prod_{k=1}^{n}k\\ & =n! \end{align*}

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タイトル	ガンマ関数と階乗の関係
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ガンマ関数の1/2値

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]

ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式

\[ \psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]

第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限

\[ \lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x} \]

ガンマ関数のルジャンドル倍数公式

\[ \Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right) \]