距離関数は連続関数
距離関数は連続関数
距離空間\(\left(X,d\right)\)の距離関数\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)は直積距離空間\(\left(X\times X,d'\right)\)上の連続関数である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)の距離関数\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)は直積距離空間\(\left(X\times X,d'\right)\)上の連続関数である。
\(d'\left(\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)^{2}=d\left(x_{2},x_{1}\right)^{2}+d\left(y_{2},y_{1}\right)^{2}\)であるので、\(0<\delta\)として\(d'\left(\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)<\delta\rightarrow d\left(x_{2},x_{1}\right)<\delta\land d\left(y_{2},y_{1}\right)<\delta\)となる。
このとき、
\begin{align*} d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right) & \leq d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\\ & =d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)\\ & <2\delta \end{align*} となり、同様に、\(d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)<2\delta\)となる。
これより、\(\left|d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)\right|<2\delta\)となるので、\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\)とすれば、
\[ \forall\left(x_{1},y_{1}\right)\in X\times X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall\left(x_{2},y_{2}\right)\in X\times X;\left\{ d\left(x_{2},x_{1}\right)<\delta\land d\left(y_{2},y_{1}\right)<\delta\rightarrow\left|d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\right|<\epsilon\right\} \] となるので\(d\)は連続となる。
このとき、
\begin{align*} d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right) & \leq d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\\ & =d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)\\ & <2\delta \end{align*} となり、同様に、\(d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)<2\delta\)となる。
これより、\(\left|d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)\right|<2\delta\)となるので、\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\)とすれば、
\[ \forall\left(x_{1},y_{1}\right)\in X\times X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall\left(x_{2},y_{2}\right)\in X\times X;\left\{ d\left(x_{2},x_{1}\right)<\delta\land d\left(y_{2},y_{1}\right)<\delta\rightarrow\left|d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\right|<\epsilon\right\} \] となるので\(d\)は連続となる。
ページ情報
| タイトル | 距離関数は連続関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/sghz7ubc/ |
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マンハッタン距離は距離空間
\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[
d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\}
\]