ライプニッツ級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}
\]
が成り立つ。
\(|x|<1\)を考えると、
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1} & =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}dx\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ & =[\arctan x]_{0}^{x}\\ & =\arctan x \end{align*} \(x=1\)のとき、交項級数のライプニッツ定理とアーベルの連続性定理より、
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4} \] が成り立つ。
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1} & =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}dx\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ & =[\arctan x]_{0}^{x}\\ & =\arctan x \end{align*} \(x=1\)のとき、交項級数のライプニッツ定理とアーベルの連続性定理より、
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4} \] が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ライプニッツ級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/s04t0d5m/ |
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ウォリス積分の同表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta
\]
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx
\]
ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]