ライプニッツ級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}
\]
が成り立つ。
\(|x|<1\)を考えると、
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1} & =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}dx\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ & =[\arctan x]_{0}^{x}\\ & =\arctan x \end{align*} \(x=1\)のとき、交項級数のライプニッツ定理とアーベルの連続性定理より、
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4} \] が成り立つ。
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1} & =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}dx\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ & =[\arctan x]_{0}^{x}\\ & =\arctan x \end{align*} \(x=1\)のとき、交項級数のライプニッツ定理とアーベルの連続性定理より、
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4} \] が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ライプニッツ級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/s04t0d5m/ |
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一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}
\]
関数の極限
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right||<\epsilon
\]
数列の極限
ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数
\[
B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
\]