ウォリスの公式
ウォリスの公式
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right) & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)}\right)^{-1}\\
& =\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}-1}{(2k)^{2}}\right)^{-1}\\
& =\frac{\pi}{2}\left\{ \frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{k^{2}}\right)\right\} ^{-1}\\
& =\frac{\pi}{2}\sin^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)\qquad,\qquad\sin(\pi z)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\\
& =\frac{\pi}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ウォリスの公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rszzqz7i/ |
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logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
ウォリス積分の同表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta
\]
数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
連続関数の和・積・商