全体集合と補集合の定義
全体集合と補集合の定義
すなわち、\(x\notin A\Leftrightarrow x\in A^{c}\)である。
また、\(x\in A\Leftrightarrow x\notin A^{c}\)も成り立つ。
(1)全体集合(普遍集合)
考えている対象全体を全体集合または普遍集合という。(2)補集合
全体集合\(X\)の中で集合\(A\)に含まれない要素全てを集めた集合を\(A\)の補集合といい、\(A^{c}:=X\setminus A\)で表す。すなわち、\(x\notin A\Leftrightarrow x\in A^{c}\)である。
また、\(x\in A\Leftrightarrow x\notin A^{c}\)も成り立つ。
全体集合を\(X=\left\{ a,b,c\right\} \)とする。
このとき、
\(\left\{ a\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} =\left\{ b,c\right\} \)
\(\left\{ a,b\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} =\left\{ c\right\} \)
となる。
このとき、
\(\left\{ a\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} =\left\{ b,c\right\} \)
\(\left\{ a,b\right\} ^{c}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} =\left\{ c\right\} \)
となる。
ページ情報
| タイトル | 全体集合と補集合の定義 |
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ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]
対称ブロック分けのトーレス
\[
\tr\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)
\]
ブロック対角行列の和・積・べき乗
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & O & \cdots & O\\
O & A_{22} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}
\end{array}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\
O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}^{k}
\end{array}\right)
\]