距離空間での有界列の定義
距離空間での有界列の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
通常距離で考える。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での有界列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qqq2acf4/ |
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連続と開集合の逆像が開集合は同値
連続と開集合の逆像が開集合は同値
全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。