距離空間での有界列の定義
距離空間での有界列の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
通常距離で考える。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での有界列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qqq2acf4/ |
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距離空間での各点連続と一様連続の定義
\[
\forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon
\]
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。
距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
実数全体の集合は完備距離空間