T1空間と単集合は同値

\(\Rightarrow\)

\(T_{1}\)空間なので任意の異なる2元\(x,y\in X\)に対しある\(O_{y}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(y\in O_{y}\land x\notin O_{y}\)となる。
\(y\)は\(x\)以外の全ての元について成り立つので、それらの和集合をとると\(x\)以外の元は全て含みので\(X\setminus\left\{ x\right\} \)となり開集合の和集合なので開集合となる。
\(X\setminus\left\{ x\right\} \)は開集合なので補集合\(\left\{ x\right\} \)は閉集合となる。

\(\Leftarrow\)

任意の異なる2元\(x,y\in X\)に対し、仮定より単集合\(\left\{ x\right\} \)が閉集合なので、その補集合\(X\setminus\left\{ x\right\} \)は開集合となり、異なる2元なので\(y\)は必ず\(X\setminus\left\{ x\right\} \)に含まれる。
これより、\(y\in X\setminus\left\{ x\right\} \land x\notin X\setminus\left\{ x\right\} \)となるので、\(T_{1}\)空間となる。