(1)

\(\Rightarrow\)

\(T_{2}\)空間であるので、異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U,V\)が存在し、\(x\in U,y\in V,U\cap V=\emptyset\)となる。
このとき、\(x\in U,y\in V,U\subseteq V^{c}\)なので、\(x\in U,y\in U^{c}\)となるので、\(x\in U,y\notin U\)となる。
これより、\(T_{1}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)は\(T_{1}\)空間であるが\(T_{2}\)空間ではない。
これより、逆は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(T_{1}\)空間なので任意の異なる元\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U\)が存在して、\(x\in U\land y\notin U\)となる。
このとき、\(x\in U\land y\notin U\Rightarrow\left(x\in U\land y\notin U\right)\lor\left(y\in U\land x\notin U\right)\)となるので\(T_{0}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
シェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)は\(T_{0}\)空間であるが\(T_{1}\)空間ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。