射影と成分への射影の定義
射影と成分への射影の定義
このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
(1)射影
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)あるとき部分集合\(M\subseteq\Lambda\)を考える。このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
(2)成分への射影
直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)があるとき、各\(A_{\lambda}\)を直積因子という。各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
集合\(A,B\)があり直積集合\(A\times B\)から\(A\)への写像\(\pi_{A}:A\times B\rightarrow A,\left(a,b\right)\mapsto a\)は\(A\)成分への射影となる。
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タイトル | 射影と成分への射影の定義 |
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[2021年福島大学後期・数学第1問]因数分解
$x^{4}+x^{2}+1+2xy-y^{2}$を因数分解。
始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
\[
\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}=\frac{b-a+1}{2}
\]
πとγがでてくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(x\right)}{x}dx=?
\]
櫛型関数の定義
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)
\]