射影と成分への射影の定義

(1)射影

集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)あるとき部分集合\(M\subseteq\Lambda\)を考える。
このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \]
を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。

(2)成分への射影

直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)があるとき、各\(A_{\lambda}\)を直積因子という。
各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \]
を第\(\mu\)成分への射影という。