数列の極限
数列\(\{a_{n}\}\)が
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow|a_{n}-b|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=b \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は\(b\)に収束する」という。
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow|a_{n}-b|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=b \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は\(b\)に収束する」という。
数列\(\{a_{n}\}\)が
\[ \forall K>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}> K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は正の無限大に発散する」という。
同様に
\[ \forall K<0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}<K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は負の無限大に発散する」という。
\[ \forall K>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}> K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は正の無限大に発散する」という。
同様に
\[ \forall K<0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}<K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は負の無限大に発散する」という。
ページ情報
| タイトル | 数列の極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/oyojhum9/ |
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ウォリス積分の定義
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta
\]
二項係数とベータ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi}
\]
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}
\]
階乗と冪乗の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0
\]