xDの冪乗の性質
xDの冪乗の性質
\(xD=x\frac{d}{dx}\)の冪乗について次が成り立つ。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(xD=x\frac{d}{dx}\)の冪乗について次が成り立つ。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{k!}x^{k}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k} \end{align*}(2)
\[ \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}x^{k}=k^{n}x^{k} \]-
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数(1)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{k!}x^{k} & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}\\ & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}\tag{(*)}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}e^{x}\cmt{\because\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k} \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}x^{k} & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\left(x\frac{d}{dx}\right)x^{k}\\ & =k\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n-1}x^{k}\\ & =k^{n}x^{k}+k^{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1}{k^{j}}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{j}-\frac{1}{k^{j-1}}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{j-1}\right)x^{k}\\ & =k^{n}x^{k} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}x^{k} & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(n,j\right)x^{j}\left(\frac{d}{dx}\right)^{j}x^{k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(n,j\right)x^{j}P\left(k,j\right)x^{k-j}\cmt{\because\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}}\\ & =x^{k}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(n,j\right)P\left(k,j\right)\\ & =x^{k}k^{n} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | xDの冪乗の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/o0ul1vok/ |
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反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]