xDの冪乗の性質
xDの冪乗の性質
\(xD=x\frac{d}{dx}\)の冪乗について次が成り立つ。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(xD=x\frac{d}{dx}\)の冪乗について次が成り立つ。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{k!}x^{k}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k} \end{align*}(2)
\[ \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}x^{k}=k^{n}x^{k} \]-
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数(1)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{k!}x^{k} & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}\\ & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}\tag{(*)}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}e^{x}\cmt{\because\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k} \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}x^{k} & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\left(x\frac{d}{dx}\right)x^{k}\\ & =k\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n-1}x^{k}\\ & =k^{n}x^{k}+k^{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1}{k^{j}}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{j}-\frac{1}{k^{j-1}}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{j-1}\right)x^{k}\\ & =k^{n}x^{k} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}x^{k} & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(n,j\right)x^{j}\left(\frac{d}{dx}\right)^{j}x^{k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(n,j\right)x^{j}P\left(k,j\right)x^{k-j}\cmt{\because\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}}\\ & =x^{k}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(n,j\right)P\left(k,j\right)\\ & =x^{k}k^{n} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | xDの冪乗の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/o0ul1vok/ |
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微分の基本公式
\[
\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]
微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
\[
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]