\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \overrightarrow{BC} & =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\\ & =2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AN}\\ & =2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)\\ & =2\overrightarrow{MN} \end{align*} となるので、線分\(MN\)は線分\(BC\)と平行であり、線分\(BC\)の長さの半分となる。
\(\angle NAM=CAB\)で辺\(BC\)と辺\(MN\)は平行なので同位角より、\(\angle ABC=\angle AMN\)となる。
これより、\(\triangle ABC\)と\(\triangle AMN\)は2角相等より相似になり相似比は辺の長さより\(2:1\)となる。

\(\Leftarrow\)

角\(A\)は共通なので\(\angle NAM=\angle CAB\)であり、線分\(MN\)と線分\(BC\)が平行であるので、\(\angle ABC=\angle AMN\)であり、\(\triangle ABC\)と\(\triangle AMN\)は2角相等より相似となる。
また、\(\left|BC\right|=2\left|MN\right|\)であるので相似比は\(2:1\)となるので、点\(M,N\)は辺\(AB,CA\)の中点となる。
従って題意は成り立つ。