行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
体\(K\)上で考える。
\[ \left(A+B\right)_{ij}=\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j} \] または、
\begin{align*} A+B & =\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)\\ & =\left(a_{ij}+b_{ij}\right) \end{align*} で定義する。
すなわち、
\begin{align*} A+B & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}+b_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} である。
このとき\(A+B\)は\(m\times n\)行列のままである。
\[ \lambda\left(A\right)_{i,j}=\left(\lambda A\right)_{i,j} \] または、
\[ \lambda A=\left(\lambda a_{ij}\right) \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} \lambda A & =\lambda\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{1,1} & \lambda a_{1,2} & \cdots & \lambda a_{1,n}\\ \lambda a_{2,1} & \lambda a_{2,2} & \cdots & \lambda a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda a_{m,1} & \lambda a_{m,2} & \cdots & \lambda a_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} となる。
\[ \left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j} \] または、
\[ AB=\left(\sum_{k=1}^{m}a_{i,k}b_{k,j}\right) \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l,1} & a_{l,2} & \cdots & a_{l,m} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^{m}a_{1,k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m}a_{1,k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m}a_{1,k}b_{k,n}\\ \sum_{k=1}^{m}a_{2,k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m}a_{2,k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m}a_{2,k}b_{k,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_{k=1}^{m}a_{l,k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m}a_{l,k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m}a_{l,k}b_{k,n} \end{array}\right) \end{align*} となる。
このとき\(AB\)は\(l\times n\)行列になる。
\begin{align*} \left(A\otimes B\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{\left\lfloor \frac{i-1}{p}\right\rfloor +1,\left\lfloor \frac{j-1}{q}\right\rfloor +1}\left(B\right)_{\mod\left(i-1,p\right)+1,\mod\left(j-1,q\right)+1} \end{align*} または、
\[ \left(A\otimes B\right)_{\left(i-1\right)p+k,\left(j-1\right)q+l}=\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{k,l} \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} A\otimes B & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1}B & a_{1,2}B & \cdots & a_{1,n}B\\ a_{2,1}B & a_{2,2}B & \cdots & a_{2,n}B\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}B & a_{m,2}B & \cdots & a_{m,n}B \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccccccccc} a_{1,1}b_{1,1} & a_{1,1}b_{1,2} & \cdots & a_{1,1}b_{1,q} & \cdots & a_{1,n}b_{1,1} & a_{1,n}b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}b_{1,q}\\ a_{1,1}b_{2,1} & a_{1,1}b_{2,2} & \cdots & a_{1,1}b_{2,q} & \cdots & a_{1,n}b_{2,1} & a_{1,n}b_{2,2} & \cdots & a_{1,n}b_{2,q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,1}b_{p,1} & a_{1,1}b_{p,2} & \cdots & a_{1,1}b_{p,q} & \cdots & a_{1,n}b_{p,1} & a_{1,n}b_{p,2} & \cdots & a_{1,n}b_{p,q}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m,1}b_{1,1} & a_{m,1}b_{1,2} & \cdots & a_{m,1}b_{1,q} & \cdots & a_{m,n}b_{1,1} & a_{m,n}b_{1,2} & \cdots & a_{m,n}b_{1,q}\\ a_{m,1}b_{2,1} & a_{m,1}b_{2,2} & \cdots & a_{m,1}b_{2,q} & \cdots & a_{m,n}b_{2,1} & a_{m,n}b_{2,2} & \cdots & a_{m,n}b_{2,q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}b_{p,1} & a_{m,1}b_{p,2} & \cdots & a_{m,1}b_{p,q} & \cdots & a_{m,n}b_{p,1} & a_{m,n}b_{p,2} & \cdots & a_{m,n}b_{p,q} \end{array}\right) \end{align*} である。
このとき\(A\otimes B\)は\(mp\times nq\)行列となる。
\[ \left(A\odot B\right)_{i,j}=\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j} \] または、
\[ A\odot B=\left(a_{i,j}b_{i,j}\right) \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} A\odot B & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\odot\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1}b_{1,1} & a_{1,2}b_{1,1} & \cdots & a_{1,n}b_{1,n}\\ a_{2,1}b_{2,1} & a_{2,2}b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}b_{m,1} & a_{m,2}b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}b_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} である。
このとき\(A\odot B\)は\(m\times n\)行列となる。
vec作用素は\(m\times n\)行列を\(mn\times1\)行列になるように\(n\)個の列ベクトルを1列に並べる作用素である。
\begin{align*} \mathrm{vec}\left(A\right) & =\mathrm{vec}\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} a_{1,1}\\ \vdots\\ a_{m,1}\\ \vdots\\ a_{1,n}\\ \vdots\\ a_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} となる。
成分で表すと、
\[ \left(\mathrm{vec}\left(A\right)\right)_{i}=\left(A\right)_{\mod\left(i-1,m\right)+1,\left\lfloor \frac{i-1}{m}\right\rfloor +1} \] または、
\[ \left(\mathrm{vec}\left(A\right)\right)_{\left(j-1\right)m+i}=\left(A\right)_{i,j} \] となる。
体\(K\)上で考える。
(1)和
同じサイズの\(m\times n\)行列\(A=\left(a_{ij}\right),B=\left(b_{ij}\right)\in M_{m\times n}\left(K\right)\)があるとき、和を\[ \left(A+B\right)_{ij}=\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j} \] または、
\begin{align*} A+B & =\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)\\ & =\left(a_{ij}+b_{ij}\right) \end{align*} で定義する。
すなわち、
\begin{align*} A+B & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}+b_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} である。
このとき\(A+B\)は\(m\times n\)行列のままである。
(2)スカラー倍
\(m\times n\)行列\(A=\left(a_{ij}\right)\in M_{m\times n}\left(K\right)\)とスカラー\(\lambda\in K\)があるとき、スカラー倍を\[ \lambda\left(A\right)_{i,j}=\left(\lambda A\right)_{i,j} \] または、
\[ \lambda A=\left(\lambda a_{ij}\right) \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} \lambda A & =\lambda\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{1,1} & \lambda a_{1,2} & \cdots & \lambda a_{1,n}\\ \lambda a_{2,1} & \lambda a_{2,2} & \cdots & \lambda a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda a_{m,1} & \lambda a_{m,2} & \cdots & \lambda a_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} となる。
(3)積
\(l\times m\)行列\(A=\left(a_{ij}\right)\in M_{l\times m}\left(K\right)\)と\(m\times n\)行列\(B=\left(b_{ij}\right)\in M_{m\times n}\left(K\right)\)があるとき、積を\[ \left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j} \] または、
\[ AB=\left(\sum_{k=1}^{m}a_{i,k}b_{k,j}\right) \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l,1} & a_{l,2} & \cdots & a_{l,m} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^{m}a_{1,k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m}a_{1,k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m}a_{1,k}b_{k,n}\\ \sum_{k=1}^{m}a_{2,k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m}a_{2,k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m}a_{2,k}b_{k,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_{k=1}^{m}a_{l,k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m}a_{l,k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m}a_{l,k}b_{k,n} \end{array}\right) \end{align*} となる。
このとき\(AB\)は\(l\times n\)行列になる。
(4)クロネッカー積
\(m\times n\)行列\(A=\left(a_{ij}\right)\in M_{m\times n}\left(K\right)\)と\(p\times q\)行列\(B=\left(b_{ij}\right)\in M_{p\times q}\left(K\right)\)があるとき、クロネッカー積を\begin{align*} \left(A\otimes B\right)_{i,j} & =\left(A\right)_{\left\lfloor \frac{i-1}{p}\right\rfloor +1,\left\lfloor \frac{j-1}{q}\right\rfloor +1}\left(B\right)_{\mod\left(i-1,p\right)+1,\mod\left(j-1,q\right)+1} \end{align*} または、
\[ \left(A\otimes B\right)_{\left(i-1\right)p+k,\left(j-1\right)q+l}=\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{k,l} \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} A\otimes B & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1}B & a_{1,2}B & \cdots & a_{1,n}B\\ a_{2,1}B & a_{2,2}B & \cdots & a_{2,n}B\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}B & a_{m,2}B & \cdots & a_{m,n}B \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccccccccc} a_{1,1}b_{1,1} & a_{1,1}b_{1,2} & \cdots & a_{1,1}b_{1,q} & \cdots & a_{1,n}b_{1,1} & a_{1,n}b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}b_{1,q}\\ a_{1,1}b_{2,1} & a_{1,1}b_{2,2} & \cdots & a_{1,1}b_{2,q} & \cdots & a_{1,n}b_{2,1} & a_{1,n}b_{2,2} & \cdots & a_{1,n}b_{2,q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,1}b_{p,1} & a_{1,1}b_{p,2} & \cdots & a_{1,1}b_{p,q} & \cdots & a_{1,n}b_{p,1} & a_{1,n}b_{p,2} & \cdots & a_{1,n}b_{p,q}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m,1}b_{1,1} & a_{m,1}b_{1,2} & \cdots & a_{m,1}b_{1,q} & \cdots & a_{m,n}b_{1,1} & a_{m,n}b_{1,2} & \cdots & a_{m,n}b_{1,q}\\ a_{m,1}b_{2,1} & a_{m,1}b_{2,2} & \cdots & a_{m,1}b_{2,q} & \cdots & a_{m,n}b_{2,1} & a_{m,n}b_{2,2} & \cdots & a_{m,n}b_{2,q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}b_{p,1} & a_{m,1}b_{p,2} & \cdots & a_{m,1}b_{p,q} & \cdots & a_{m,n}b_{p,1} & a_{m,n}b_{p,2} & \cdots & a_{m,n}b_{p,q} \end{array}\right) \end{align*} である。
このとき\(A\otimes B\)は\(mp\times nq\)行列となる。
(5)アダマール積
同じサイズの\(m\times n\)行列\(A=\left(a_{i,j}\right),B=\left(b_{i,j}\right)\in M_{m\times n}\left(K\right)\)があるとき、アダマール積を\[ \left(A\odot B\right)_{i,j}=\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{i,j} \] または、
\[ A\odot B=\left(a_{i,j}b_{i,j}\right) \] で定義する。
すなわち、
\begin{align*} A\odot B & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\odot\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1}b_{1,1} & a_{1,2}b_{1,1} & \cdots & a_{1,n}b_{1,n}\\ a_{2,1}b_{2,1} & a_{2,2}b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}b_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1}b_{m,1} & a_{m,2}b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}b_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} である。
このとき\(A\odot B\)は\(m\times n\)行列となる。
(6)vec作用素
行列\(A\)が\(m\times n\)行列とする。vec作用素は\(m\times n\)行列を\(mn\times1\)行列になるように\(n\)個の列ベクトルを1列に並べる作用素である。
\begin{align*} \mathrm{vec}\left(A\right) & =\mathrm{vec}\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} a_{1,1}\\ \vdots\\ a_{m,1}\\ \vdots\\ a_{1,n}\\ \vdots\\ a_{m,n} \end{array}\right) \end{align*} となる。
成分で表すと、
\[ \left(\mathrm{vec}\left(A\right)\right)_{i}=\left(A\right)_{\mod\left(i-1,m\right)+1,\left\lfloor \frac{i-1}{m}\right\rfloor +1} \] または、
\[ \left(\mathrm{vec}\left(A\right)\right)_{\left(j-1\right)m+i}=\left(A\right)_{i,j} \] となる。
行列の積の定義について
\(A\)を\(l\times m\)行列、\(B\)を\(m\times n\)行列として、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)との結合律\(\left(AB\right)\boldsymbol{x}=A\left(B\boldsymbol{x}\right)\)が成り立つとすると、\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\left(AB\right)_{i,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k} & =\left(\left(AB\right)\boldsymbol{x}\right)_{i}\\ & =\left(A\left(B\boldsymbol{x}\right)\right)_{i}\\ & =\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\left(B\boldsymbol{x}\right)_{j}\\ & =\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\sum_{k=1}^{n}\left(B\right)_{j,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{j,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k} \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}\)について恒等的に成り立つには、
\[ \left(AB\right)_{i,k}=\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{j,k} \] となる。
これを\(A,B\)の積にしているのである。
また、\(A,B\)の積をこのように定義すると、
\begin{align*} \left(\left(AB\right)\boldsymbol{x}\right)_{i} & =\sum_{k=1}^{n}\left(AB\right)_{i,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\left(B\right)_{j,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}\\ & =\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\sum_{k=1}^{n}\left(B\right)_{j,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}\\ & =\sum_{j=1}^{m}\left(A\right)_{i,j}\left(B\boldsymbol{x}\right)_{j}\\ & =\left(A\left(B\boldsymbol{x}\right)\right)_{i} \end{align*} となるので、\(\left(AB\right)\boldsymbol{x}=A\left(B\boldsymbol{x}\right)\)が成り立つ。
-
行列の積を\[ \left(\boldsymbol{y}\right)_{i}=\left(A\right)_{i,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k} \] と定義して、ベクトルとの結合律\(A\left(B\boldsymbol{x}\right)=\left(AB\right)\boldsymbol{x}\)が成り立つには行列の積を
\[ \left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j} \] と定義しなくてはいけなく、このように定義すると、結合律\(\left(AB\right)C=A\left(BC\right)\)や左分配律\(A\left(B+C\right)=AB+AC\)、右分配律\(\left(A+B\right)C=AC+BC\)が成り立つということである。
(1)和の例
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1+5 & 2+6\\ 3+7 & 4+8 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 6 & 8\\ 10 & 12 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\ 3 & 4 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -5\\ 1 & -4 & 3 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} 1+2 & 3+3 & 2-5\\ 3+1 & 4-4 & 1+3 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 3 & 6 & -3\\ 4 & 0 & 4 \end{array}\right) \end{align*} \[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)\text{は型が違うので計算できない} \](2)スカラー倍の例
\begin{align*} 3\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 3\cdot1 & 3\cdot2\\ 3\cdot3 & 3\cdot4 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 3 & 6\\ 9 & 12 \end{array}\right) \end{align*}(3)積の例
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 2 & 1 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1\cdot1+2\cdot2 & 1\cdot3+2\cdot1\\ 2\cdot1+3\cdot2 & 2\cdot3+3\cdot1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 5 & 5\\ 8 & 9 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right) & =1\cdot1+\left(-2\right)\cdot2\\ & =-3 \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -2 & 1\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1\cdot\left(-2\right) & 1\cdot1\\ 3\cdot\left(-2\right) & 3\cdot1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} -2 & 1\\ -6 & 3 \end{array}\right) \end{align*} \[ \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)\text{は計算できない} \](4)クロネッカー積の例
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} 1\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{array}\right)\\ 3\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1\cdot1 & 1\cdot2\\ 1\cdot3 & 1\cdot2\\ 3\cdot1 & 3\cdot2\\ 3\cdot3 & 3\cdot2 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 2\\ 3 & 6\\ 9 & 6 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c} 3\\ -2 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1\left(\begin{array}{c} 3\\ -2 \end{array}\right) & 2\left(\begin{array}{c} 3\\ -2 \end{array}\right)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1\cdot3 & 2\cdot3\\ 1\cdot\left(-2\right) & 2\cdot\left(-2\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 3 & 6\\ -2 & -4 \end{array}\right) \end{align*}(5)アダマール積の例
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{array}\right)\odot\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 2\cdot3 & 1\cdot1\\ 3\cdot1 & 2\cdot2 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 6 & 1\\ 3 & 4 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)\odot\left(\begin{array}{c} 3\\ 4 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} 1\cdot3\\ 2\cdot4 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} 3\\ 8 \end{array}\right) \end{align*} \[ \left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)\odot\left(\begin{array}{c} 3\\ 4\\ 5 \end{array}\right)\text{は型が違うので計算できない} \](6)vec作用素の例
\[ \mathrm{vec}\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ 5\\ 2\\ 4\\ 6 \end{array}\right) \] \[ \mathrm{vec}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 4\\ 2\\ 5\\ 3\\ 6 \end{array}\right) \]
ページ情報
| タイトル | 行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/mdnba1qn/ |
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行列の相似・同値と相似変換の定義
\[
B=P^{-1}AP
\]
色々な行列の定義
\[
M_{n}\left(K\right)
\]
行列の定義
\[
A=\left(a_{i,j}\right)
\]
行列の性質
一般的に$AB=BA$は成り立たない。