(1)

\(T_{2}\)空間ならば\(T_{0}\)空間であり、\(T_{2}\)空間で成り立つので\(T_{0}\)空間でも成り立つ。

(2)

\(T_{2}\)空間ならば\(T_{1}\)空間であり、\(T_{2}\)空間で成り立つので\(T_{1}\)空間でも成り立つ。

(3)

\(\left|A\right|<2\)のときは\(A\)から異なる2元がとれないので\(T_{2}\)空間となる。
\(2\leq\left|A\right|\)とする。
異なる2元\(x,y\in A\)をとると、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)では\(T_{2}\)空間なのである開集合\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(x\in O_{1},y\in O_{2},O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)を満たす。
このとき、\(O_{A,1}=A\cap O_{1},O_{A,2}=A\cap O_{2}\)は\(\mathcal{O}_{A}\)での開集合となり、\(\left(x\in O_{1}\land x\in A\right)\Rightarrow x\in O_{1}\cap A\Leftrightarrow x\in O_{A,1}\)となり同様に\(y\in O_{A,2}\)、また\(O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\Rightarrow A\cap\left(O_{1}\cap O_{2}\right)=\emptyset\Leftrightarrow\left(A\cap O_{1}\right)\cap\left(A\cap O_{2}\right)=\emptyset\Leftrightarrow O_{A,1}\cap O_{A,2}=\emptyset\)となる。
従って、開集合\(O_{A,1},O_{A,2}\)は\(x\in O_{A,1},y\in O_{A,2},O_{A,1}\cap O_{A,2}=\emptyset\)を満たすので\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(T_{2}\)空間となる。
これらより、\(\left|A\right|<2\)のときも\(2\leq\left|A\right|\)のときも\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(T_{2}\)空間となるので、任意の部分集合\(A\)に対し\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(T_{2}\)空間となる。

(4)

\(A=\emptyset\)のときは\(A\)から元がとれないので\(T_{3}\)空間となる。
\(A\ne\emptyset\)とする。
元\(x\in A\)と\(A\)の閉集合\(F_{A}\subseteq A\)をとり\(x\notin F_{A}\)とすると、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)では\(T_{3}\)空間なのである開集合\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(x\in O_{1},F\subseteq O_{2},O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)を満たす。
このとき、\(O_{A,1}=A\cap O_{1},O_{A,2}=A\cap O_{2}\)は\(\mathcal{O}_{A}\)での開集合となり、\(\left(x\in O_{1}\land x\in A\right)\Rightarrow x\in O_{1}\cap A\Leftrightarrow x\in O_{A,1}\)となり同様に\(F\subseteq O_{2}\land F_{A}\subseteq A\Rightarrow F\subseteq\left(O_{2}\cap A\right)\Leftrightarrow F\subseteq O_{A,2}\)、また\(O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\Rightarrow A\cap\left(O_{1}\cap O_{2}\right)=\emptyset\Leftrightarrow\left(A\cap O_{1}\right)\cap\left(A\cap O_{2}\right)=\emptyset\Leftrightarrow O_{A,1}\cap O_{A,2}=\emptyset\)となる。
従って、開集合\(O_{A,1},O_{A,2}\)は\(x\in O_{A,1},F\subseteq O_{A,2},O_{A,1}\cap O_{A,2}=\emptyset\)を満たすので\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(T_{3}\)空間となる。
これらより、\(A=\emptyset\)のときも\(A\ne\emptyset\)のときも\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(T_{3}\)空間となるので、任意の部分集合\(A\)に対し\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(T_{3}\)空間となる。

(5)

反例で示す。
位相空間\(\left\{ \left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right\} \)を考える。
この位相空間の閉集合族は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b,d\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ b,c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \)である。
この閉集合族は空集合以外全て元\(d\)を含んでいるので\(T_{4}\)空間である。
ここで部分集合\(\left\{ a,b,c\right\} \subseteq\left\{ a,b,c,d\right\} \)の部分位相は\(\left\{ \left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right\} \)となり、この閉集合族は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)である。
このとき、閉集合\(\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \)は\(\left\{ b\right\} \cap\left\{ c\right\} =\emptyset\)であるが開集合で分離することはできないので\(T_{4}\)空間ではない。
従って\(T_{4}\)空間の部分位相は\(T_{4}\)空間とは限らない。

開部分位相と閉部分集合

位相空間\(\left\{ \left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right\} \)を考える
この位相空間の閉集合族は\(\left\{ \emptyset,\left\{ d\right\} ,\left\{ b,d\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ b,c,d\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \)である。
この位相空間の交わらない閉集合は空集合を除くと\(\left\{ a,b,c\right\} \cap\left\{ d\right\} =\emptyset\)しかなく、これは開集合で分離できるので\(T_{4}\)空間である。
しかし、部分集合\(\left\{ a,b,c\right\} \subseteq\left\{ a,b,c,d\right\} \)は開集合でもあり閉集合でもあり、この部分位相は\(\left\{ \left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right\} \)であり、閉集合族は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)である。
この部分位相の交わらない閉集合は空集合を除くと\(\left\{ b\right\} \cap\left\{ c\right\} =\emptyset\)しかなく、これは開集合で分離できないので\(T_{4}\)空間でない。
従って、\(T_{4}\)空間の開部分位相も閉部分位相も\(T_{4}\)空間とは限らない。