三角関数と双曲線関数
三角関数と双曲線関数には以下の関係がある。
(1)
\[ i\sin x=\sinh\left(ix\right) \](2)
\[ \cos x=\cosh\left(ix\right) \](3)
\[ i\tan x=\tanh\left(ix\right) \](4)
\[ i\sinh x=\sin(ix) \](5)
\[ \cosh x=\cos(ix) \](6)
\[ i\tanh x=\tan(ix) \](1)
\begin{align*} i\sin x & =i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}-e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\sinh ix \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos x & =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}+e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\cosh ix \end{align*}(3)
\begin{align*} i\tan x & =i\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{\sinh ix}{\cosh ix}\\ & =\tanh ix \end{align*}(4)
\begin{align*} i\sinh x & =i\sinh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =-\sin(-ix)\\ & =\sin(ix) \end{align*}(5)
\begin{align*} \cosh x & =\cosh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =\cos(-ix)\\ & =\cos(ix) \end{align*}(6)
\begin{align*} i\tanh x & =i\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ & =i\frac{-i\sin(ix)}{\cos(ix)}\\ & =\tan(ix) \end{align*}ページ情報
タイトル | 三角関数と双曲線関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/lsiur0p5/ |
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三角関数と双曲線関数の対数
\[
\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)
\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の級数表示
\[
\sin^{\bullet}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(2k,k\right)}{4^{k}(2k+1)}x^{2k+1}\qquad,(|x|\leq1)
\]
三角関数(双曲線関数)の逆三角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件
\[
\sin^{\bullet}\sin z=?z
\]