三角関数と双曲線関数
三角関数と双曲線関数には以下の関係がある。
(1)
\[ i\sin x=\sinh\left(ix\right) \](2)
\[ \cos x=\cosh\left(ix\right) \](3)
\[ i\tan x=\tanh\left(ix\right) \](4)
\[ i\sinh x=\sin(ix) \](5)
\[ \cosh x=\cos(ix) \](6)
\[ i\tanh x=\tan(ix) \](1)
\begin{align*} i\sin x & =i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}-e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\sinh ix \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos x & =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}+e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\cosh ix \end{align*}(3)
\begin{align*} i\tan x & =i\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{\sinh ix}{\cosh ix}\\ & =\tanh ix \end{align*}(4)
\begin{align*} i\sinh x & =i\sinh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =-\sin(-ix)\\ & =\sin(ix) \end{align*}(5)
\begin{align*} \cosh x & =\cosh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =\cos(-ix)\\ & =\cos(ix) \end{align*}(6)
\begin{align*} i\tanh x & =i\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ & =i\frac{-i\sin(ix)}{\cos(ix)}\\ & =\tan(ix) \end{align*}ページ情報
タイトル | 三角関数と双曲線関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/lsiur0p5/ |
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三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}
\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\sin^{\bullet}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
ピタゴラスの基本三角関数公式
\[
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1
\]