三角関数と双曲線関数
三角関数と双曲線関数には以下の関係がある。
(1)
\[ i\sin x=\sinh\left(ix\right) \]
(2)
\[ \cos x=\cosh\left(ix\right) \]
(3)
\[ i\tan x=\tanh\left(ix\right) \]
(4)
\[ i\sinh x=\sin(ix) \]
(5)
\[ \cosh x=\cos(ix) \]
(6)
\[ i\tanh x=\tan(ix) \]
(1)
\begin{align*} i\sin x & =i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}-e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\sinh ix \end{align*}
(2)
\begin{align*} \cos x & =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}+e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\cosh ix \end{align*}
(3)
\begin{align*} i\tan x & =i\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{\sinh ix}{\cosh ix}\\ & =\tanh ix \end{align*}
(4)
\begin{align*} i\sinh x & =i\sinh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =-\sin(-ix)\\ & =\sin(ix) \end{align*}
(5)
\begin{align*} \cosh x & =\cosh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =\cos(-ix)\\ & =\cos(ix) \end{align*}
(6)
\begin{align*} i\tanh x & =i\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ & =i\frac{-i\sin(ix)}{\cos(ix)}\\ & =\tan(ix) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 三角関数と双曲線関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/lsiur0p5/ |
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