ピタゴラスの基本三角関数公式
ピタゴラスの基本三角関数公式
(1)
\[ \cos^{2}x+\sin^{2}x=1 \]
(2)
\[ 1+\tan^{2}x=\cos^{-2}x \]
(3)
\[ 1+\cot^{2}x=\sin^{-2}x \]
(1)
\begin{align*} \cos^{2}x+\sin^{2}x & =\left(\cos x+i\sin x\right)\left(\cos x-i\sin x\right)\\ & =e^{ix}e^{-ix}\\ & =1 \end{align*}
(2)
\begin{align*} 1+\tan^{2}x & =\cos^{-2}x(\cos^{2}x+\sin^{2}x)\\ & =\cos^{-2}x \end{align*}
(3)
\begin{align*} 1+\cot^{2}x & =\sin^{-2}x(\sin^{2}x+\cos^{2}x)\\ & =\sin^{-2}x \end{align*}
基本双曲線関数公式
(1)
\[ \cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1 \]
(2)
\begin{align*} 1-\tanh^{2}x & =\cosh^{-2}x \end{align*}
(3)
\[ 1-\coth^{2}x=-\sinh^{-2}x \]
(1)
\begin{align*} 1 & =\cos^{2}ix+\sin^{2}ix\\ & =\cosh^{2}x-\sinh^{2}ix \end{align*}
(2)
\begin{align*} 1-\tanh^{2}x & =\cosh^{-2}x(\cosh^{2}x-\sinh^{2}x)\\ & =\cosh^{-2}x \end{align*}
(3)
\begin{align*} 1-\coth^{2}x & =\sinh^{-2}x(\sinh^{2}x-\cosh^{2}x)\\ & =-\sinh^{-2}x \end{align*}
ページ情報
タイトル | ピタゴラスの基本三角関数公式 |
URL | https://www.nomuramath.com/xxyoe40l/ |
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- 三角関数と双曲線関数の積分\[ \int f(\cos x,\sin x)dx=\int f\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt\cnd{t=\tan\frac{x}{2}} \]
- 三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。\[ \sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \]
- 三角関数と双曲線関数の実部と虚部\[ \sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \]
- 偏角の三角関数\[ \sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|} \]